Escolha Intertemporal I

Restrição Orçamental Intertemporal

Paulo Fagandini

ISCAL-IPL

Motivação

Porquê Estudar Escolha Intertemporal?

Até agora o consumidor escolhia entre bens diferentes hoje.

Nas finanças, a escolha fundamental é entre consumo hoje vs. consumo amanhã.

Note

Ligação às finanças: taxa de juro, valor presente, desconto de cash flows, poupança e crédito — tudo emerge desta extensão do modelo do consumidor.

A Estrutura do Problema

Dois períodos: hoje (\(t = 0\)) e amanhã (\(t = 1\))
Rendimento: \(y_0\) hoje, \(y_1\) amanhã
Escolha: \(c_0\) (consumo hoje) e \(c_1\) (consumo amanhã)
Taxa de juro: \(r\) (taxa bruta de juro de um período)

O consumidor pode poupar (transferir rendimento para amanhã) ou pedir emprestado (antecipar rendimento futuro).

Exemplo Numérico

\[y_0 = 100 \text{ €}, \quad y_1 = 110 \text{ €}, \quad r = 10\%\]

Opção extrema A — gastar tudo hoje (poupar \(y_0\), e trazer \(y_1\) a valor presente):

\[c_0^{\max} = y_0 + \frac{y_1}{1+r} = 100 + \frac{110}{1{,}10} = 200 \text{ €}\]

Opção extrema B — não consumir hoje (poupar \(y_0\), acumular \(y_1\)):

\[c_1^{\max} = y_0(1+r) + y_1 = 100 \times 1{,}10 + 110 = 220 \text{ €}\]

Restrição Orçamental Intertemporal

Forma em Valor Presente

A riqueza presente (wealth) do consumidor:

\[W = y_0 + \frac{y_1}{1+r}\]

A restrição orçamental em valor presente:

\[\boxed{c_0 + \frac{c_1}{1+r} = y_0 + \frac{y_1}{1+r} = W}\]

O “preço” de consumir 1 € hoje é 1 (claro). O “preço” de consumir 1 € amanhã é \(\frac{1}{1+r}\) (valor presente de 1 € futuro).

Forma em Valor Futuro

Multiplicando ambos os lados por \((1+r)\):

\[c_0(1+r) + c_1 = y_0(1+r) + y_1\]

Ou seja: o valor futuro do consumo = o valor futuro do rendimento.

Reescrevendo:

\[c_1 = y_1 + (1+r)(y_0 - c_0)\]

Se \(c_0 < y_0\) (poupança): \(c_1 > y_1\) — poupar hoje \(\Rightarrow\) mais amanhã.

Se \(c_0 > y_0\) (crédito): \(c_1 < y_1\) — pedir emprestado hoje \(\Rightarrow\) menos amanhã.

A Reta Orçamental Intertemporal

Inclinação da Reta Orçamental

Da equação \(c_0 + \frac{c_1}{1+r} = W\):

\[\frac{dc_1}{dc_0} = -(1+r)\]

Interpretação: se o consumidor consome 1 € a mais hoje, tem de abdicar de \((1+r)\) € amanhã.

O “preço relativo” de consumo hoje face a consumo amanhã é \((1+r)\).

Important

Ligação às finanças: \((1+r)\) é o fator de desconto inverso. Um projeto que custa 1 hoje e devolve menos de \((1+r)\) amanhã destrói valor.

Poupador vs. Devedor

Regiões da Reta Orçamental

A dotação \((y_0, y_1)\) está sobre a reta orçamental.

Poupador (lender): \(c_0 < y_0\)

Consome menos do que recebe hoje
Empresta a outros à taxa \(r\)
Recebe \(c_1 > y_1\) amanhã

Devedor (borrower): \(c_0 > y_0\)

Consome mais do que recebe hoje
Pede emprestado à taxa \(r\)
Devolve, ficando com \(c_1 < y_1\) amanhã

Um Mundo Sem Mercados de Crédito

Sem crédito: o consumidor é forçado ao ponto de dotação \((y_0, y_1)\).

Com mercados de crédito funcionais: pode escolher qualquer ponto da reta orçamental.

Note

A existência de mercados financeiros expande o conjunto de escolhas acessíveis. Mesmo sem alterar o rendimento, tornam o consumidor mais rico em termos de utilidade.

Questões de Revisão

Questão 1

A restrição orçamental intertemporal \(c_0 + c_1/(1+r) = y_0 + y_1/(1+r)\) afirma que:

O consumo de hoje não pode exceder o rendimento de hoje
O valor presente do consumo total deve igualar o valor presente do rendimento total
O consumidor deve poupar sempre uma fração do rendimento
A taxa de juro determina o rendimento do consumidor

Resposta: b)

Questão 2

Com \(y_0 = 500\) €, \(y_1 = 550\) €, \(r = 10\%\), o consumidor decide \(c_0 = 600\) €. O que é verdade?

O consumidor está a poupar 100 €
O consumidor está a pedir emprestado 100 € hoje, pagando 110 € amanhã
A escolha é inviável pois excede \(y_0\)
O consumidor recebe \(c_1 = 550\) € amanhã sem alterações

Resposta: b) (pede 100 hoje; sobra amanhã: \(550 - 110 = 440\) €)

Exercício

O Carlos recebe \(y_0 = 500\) € este mês e \(y_1 = 660\) € no próximo mês. A taxa de juro mensal é \(r = 10\%\).

Qual é a riqueza presente (W) do Carlos?
Qual o máximo que pode consumir este mês? E no próximo?
O Carlos decide consumir \(c_0 = 600\) € este mês. Está a poupar ou a pedir emprestado? Quanto fica para o mês seguinte?
Se a taxa de juro sobe para \(r = 20\%\), como se altera a reta orçamental? O Carlos fica melhor ou pior?

Resolução:

\(W = 500 + 660/1{,}10 = 500 + 600 = \mathbf{1.100}\) €
Máx. hoje: 1.100 €; máx. amanhã: \(1.100 \times 1{,}10 =\) 1.210 €
Pede emprestado 100 € hoje. Amanhã: \(660 - 100 \times 1{,}10 = 660 - 110 =\) 550 €
Nova W = \(500 + 660/1{,}20 = 500 + 550 = 1.050\) € < 1.100 €. A dotação ainda está na reta, mas a reta roda. O Carlos (que pede emprestado) fica pior — paga mais juros.