Escolha Intertemporal II

Ótimo, Equação de Euler e Estática Comparativa

Paulo Fagandini

ISCAL-IPL

Preferências Intertemporais

Preferências sobre \((c_0, c_1)\)

Tal como na escolha estática, o consumidor tem curvas de indiferença no plano \((c_0, c_1)\).

As curvas de indiferença têm inclinação negativa (mais \(c_0\) implica menos \(c_1\) para a mesma utilidade)
Convexidade: prefere combinações equilibradas a extremos (“suavização do consumo”)
Impaciência: tende a valorizar mais o consumo hoje do que amanhã

A taxa marginal de substituição intertemporal (TMS):

\[\text{TMS} = \left|\frac{dc_1}{dc_0}\right|_{\bar{U}} = \frac{U'(c_0)}{U'(c_1)}\]

O Ótimo do Consumidor

No ótimo, a TMS iguala a inclinação da reta orçamental:

\[\boxed{\frac{U'(c_0)}{U'(c_1)} = 1 + r}\]

Interpretação: a taxa subjetiva de troca entre hoje e amanhã iguala a taxa de mercado \((1+r)\).

Note

Esta condição é a Equação de Euler na sua forma mais simples. Reapparece em todos os modelos de finanças e macroeconomia.

Equação de Euler — Intuição

\[U'(c_0) = (1+r) \cdot U'(c_1)\]

Leitura: o benefício marginal de consumir hoje (\(U'(c_0)\)) deve igualar o custo de oportunidade: abdicar de \((1+r)\) unidades de utilidade amanhã.

Se \(U'(c_0) > (1+r) \cdot U'(c_1)\): o consumidor valoriza mais o consumo hoje \(\Rightarrow\) pede emprestado.

Se \(U'(c_0) < (1+r) \cdot U'(c_1)\): valoriza mais o consumo amanhã \(\Rightarrow\) poupa.

Exemplo: \(U(c_0, c_1) = \ln c_0 + \ln c_1\)

Com \(y_0 = 100\), \(y_1 = 110\), \(r = 10\%\):

Condição de Euler: \(\frac{1/c_0}{1/c_1} = 1{,}10 \Rightarrow c_1 = 1{,}10 \, c_0\)

Restrição (valor futuro): \(c_0 \times 1{,}10 + c_1 = 220\)

Substituindo: \(1{,}10 c_0 + 1{,}10 c_0 = 220 \Rightarrow c_0^* = 100, \; c_1^* = 110\)

O consumidor fica exactamente na dotação — nem poupa nem pede emprestado.

(Com \(\beta\)-desconto, a solução afasta-se da dotação.)

Estática Comparativa: Mudança em \(r\)

O Que Acontece Quando \(r\) Sobe?

A reta orçamental roda em torno da dotação \((y_0, y_1)\).

Efeitos para Poupadores e Devedores

	Efeito substituição	Efeito rendimento	Efeito total em \(c_0\)
Poupador (\(c_0 < y_0\))	↓ \(c_0\)	↑ rendimento → ↑ \(c_0\)	Ambíguo
Devedor (\(c_0 > y_0\))	↓ \(c_0\)	↓ rendimento → ↓ \(c_0\)	↓ \(c_0\) (certo)

Important

Ligação às finanças: subidas de taxas de juro prejudicam definitivamente os devedores. Para poupadores, o efeito é ambíguo — rendimento sobe mas o bem “consumo hoje” fica mais caro.

Ligações às Finanças

A escolha intertemporal é o fundamento de:

Valor Presente: \(PV = \frac{CF_1}{1+r}\) — a mesma lógica da restrição orçamental.

Mercados de crédito: existem porque consumidores têm preferências e dotações diferentes — uns querem ser devedores, outros poupadores.

Asset pricing: a Equação de Euler, com incerteza, torna-se:

\[U'(c_0) = (1+r) \cdot \mathbb{E}[U'(c_1)]\]

É a base do CAPM e de modelos de apreçamento de activos.

Questões de Revisão

Questão 1

A condição de ótimo intertemporal \(U'(c_0) = (1+r) \cdot U'(c_1)\) implica que:

O consumidor poupa sempre uma fração constante do rendimento
A taxa marginal de substituição intertemporal iguala o fator de desconto de mercado \((1+r)\)
O consumidor é indiferente entre consumir hoje ou amanhã
A taxa de juro não afecta as decisões de consumo

Resposta: b)

Questão 2

Um consumidor é devedor (\(c_0^* > y_0\)). A taxa de juro sobe. O que é mais provável?

O consumidor aumenta \(c_0\) (efeito rendimento positivo domina)
O consumidor mantém \(c_0\) inalterado (efeitos cancelam-se)
O consumidor reduz \(c_0\) (efeitos substituição e rendimento apontam na mesma direção)
O consumidor passa a poupador e aumenta \(c_0\)

Resposta: c) (para devedores, ambos os efeitos reduzem \(c_0\))

Exercício

A Beatriz tem \(y_0 = 200\) €, \(y_1 = 330\) €, \(r = 10\%\). A sua utilidade é \(U(c_0, c_1) = \sqrt{c_0} + \sqrt{c_1}\).

Escreva a condição de Euler e simplifique.
Escreva a restrição orçamental em valor presente.
Resolva o sistema e encontre \((c_0^*, c_1^*)\).
A Beatriz é poupadora ou devedora?
Se \(r\) sobe para 21%, o que acontece à sua escolha? (Calcule ou argumente.)

Resolução:

\(U'(c_0) = (1+r) U'(c_1)\) → \(\frac{1}{2\sqrt{c_0}} = 1{,}10 \cdot \frac{1}{2\sqrt{c_1}}\) → \(\sqrt{c_1} = 1{,}10\sqrt{c_0}\) → \(c_1 = 1{,}21\,c_0\)
\(c_0 + c_1/1{,}10 = 200 + 330/1{,}10 = 200 + 300 = 500\)
Substituindo: \(c_0 + 1{,}21 c_0/1{,}10 = 500\) → \(c_0(1 + 1{,}10) = 500\) → \(c_0^* \approx 238\), \(c_1^* = 1{,}21 \times 238 \approx 288\)
\(c_0^* = 238 > y_0 = 200\) → Devedora (pede 38 € emprestados hoje)
Nova W = \(200 + 330/1{,}21 = 473\) < 500. Como devedora, paga mais juros — \(c_0\) e bem-estar diminuem.