Teoria da Produção e Contratação

Função de Produção e Regra de Contratação

Paulo Fagandini

ISCAL-IPL

Teoria do Produtor

Objectivo: Compreender como as empresas transformam inputs em output, a diferença entre curto e longo prazo, e as propriedades da função de produção.

Modelo de Produção

Uma unidade produtiva contrata inputs no mercado de fatores e, usando uma tecnologia, transforma-os em output.

Escolhas da Empresa

São escolhas da empresa:

Quantidade de cada input a contratar, em função dos respetivos preços de mercado.
Quantidade de output a produzir, em função das condições de mercado e da tecnologia disponível.

Linguagem

\[F(K,L)=Q \quad \text{(Função de Produção)}\]

Relação entre quantidade de inputs e quantidade de output que a partir deles se obtém, dada uma tecnologia.

\[CT = C(Q) \quad \text{(Função de Custos)}\]

Relação entre custos de contratação de inputs e quantidade de output produzido, dada uma tecnologia.

Função de Produção

Uma função de produção mostra o produto máximo que se pode obter através de combinações alternativas de fatores produtivos, dada uma certa tecnologia.
Pressupõe-se eficiência na utilização de recursos.
Notação: \(F(K,L) = Q\), em que \(K\) é o capital e \(L\) é o trabalho.

Curto Prazo vs. Longo Prazo

Uma empresa tem de decidir: quantidade a produzir, localização, equipamentos a instalar, pessoal a contratar…

Estas decisões são tomadas em períodos de tempo diferentes: é mais rápido contratar trabalhadores do que adquirir instalações.

Curto Prazo (conceito)

O Curto Prazo é um período de tempo suficientemente curto para que a empresa não consiga modificar a quantidade contratada de, pelo menos, um fator produtivo (fator fixo).

Normalmente, considera-se que o Capital (\(K\)) está fixo a curto prazo.

Longo Prazo (conceito)

O Longo Prazo é um período de tempo suficientemente longo para que a quantidade contratada de todos os fatores produtivos possa ser alterada.

É neste contexto que se enquadram as planificações de produção para o futuro: área de produção, linhas de produto, maquinaria/tecnologia…

“Quanto Tempo tem o Tempo?”

Longo Prazo e Curto Prazo são apenas conceitos.
A duração necessária depende do sector de atividade.

Um mês pode ser suficiente para substituir toda a maquinaria de uma fábrica têxtil, mas não para o fazer numa fábrica de microcomponentes eletrónicos. O “longo prazo” pode demorar mais nalguns sectores do que noutros.

Fatores Fixos e Variáveis

	Curto Prazo	Longo Prazo
Capital (\(K\))	Fixo (\(\bar{K}\))	Variável
Trabalho (\(L\))	Variável	Variável

Nos modelos seguintes, considera-se \(L\) variável e \(K\) fixo a curto prazo: \[F(\bar{K}, L) = f(L) \quad \text{(curva de produto total)}\]

Produto Marginal do Trabalho (MPL)

Traduz a forma como a produção se altera (\(\Delta Q\)) quando o input variável se altera (\(\Delta L\)):

\[Pmg = MPL = \frac{\Delta Q}{\Delta L}\]

É a variação do produto total quando se adiciona uma unidade adicional de trabalho, cæteris paribus (mantendo \(K\) constante).

Produto Médio do Trabalho (APL)

É a quantidade produzida, em média, por cada unidade de trabalho contratada:

\[PMe = APL = \frac{Q}{L}\]

Uma “unidade de trabalho” pode ser uma pessoa, grupos de pessoas, ou uma unidade de tempo (horas, dias…).

Exemplo Numérico: APL e MPL

\(L\)	\(F(K,L)\)	\(APL\)	\(MPL\)
0	0	—	—
1	4	4.00	4
2	14	7.00	10
3	27	9.00	13
4	43	10.75	16
5	58	11.60	15
6	72	12.00	14
7	81	11.57	9
8	86	10.75	5
9	78	8.67	-8
10	67	6.70	-11

MPL máximo: \(L=4\)
Quando \(MPL > APL\): APL está a crescer; quando \(MPL < APL\): APL está a diminuir. APL máximo \(\to\) ótimo técnico.

Curva de Produto Total

APL e MPL — Curva Geral

As 3 Etapas do Processo Produtivo

Etapa	Intervalo	Característica
I	\([0,\, Q_1]\)	\(MPL > APL\); APL crescente
II	\([Q_1,\, Q_{max}]\)	\(MPL < APL\); APL decrescente; \(MPL \geq 0\)
III	\(Q > Q_{max}\)	\(MPL < 0\); produção decresce

A Zona Económica de Exploração é a Etapa II — é aqui que se situam as escolhas óptimas de produção.

Exemplos de Funções de Produção

Funções de produção podem ter formas analíticas muito diversas:

\(Q = 2KL\) → a curto prazo (\(K=2\)): \(Q = 4L\)
\(Q = K^{0.25}L^{0.5}\) → a curto prazo (\(K=16\)): \(Q = 2L^{0.5}\)
\(Q = K^{0.5}L^{0.5}\) → a curto prazo (\(K=4\)): \(Q = 2L^{0.5}\)
\(Q = -K^3L^3 + 30K^4L^2 + 10K^5L\) → a curto prazo (\(K=1\)): \(Q = -L^3 + 30L^2 + 10L\)

Cada expressão representa um diferente modelo de tecnologia.

Produção a Longo Prazo: Efeito de \(\uparrow K\)

Um aumento de \(K\) expande a curva de produto total — efeito análogo ao de um progresso tecnológico.

Exercícios — Escolha Múltipla (1)

1. A empresa A tem a função \(Q = K^{0.5}L^{0.5}\) e a empresa B tem \(Q = KL\). A curto prazo (\(K=4\)):

A empresa A tem MPL crescente e a empresa B tem MPL constante.
A empresa A tem MPL decrescente e a empresa B tem MPL crescente.
A empresa A tem MPL decrescente e a empresa B tem MPL constante.
Ambas têm MPL decrescente.

Solução: A (\(K=4\)): \(Q=2L^{0.5}\), \(MPL = L^{-0.5}\) → decresce com \(L\). B (\(K=4\)): \(Q=4L\), \(MPL = 4\) → constante. Resposta: c).

Exercícios — Escolha Múltipla (2)

2. Qual das seguintes afirmações sobre a Zona Económica de Exploração é correta?

Corresponde à Etapa I, onde APL está a crescer.
Corresponde à Etapa II, onde \(MPL \geq 0\) e APL está a decrescer.
Corresponde à Etapa III, onde o output é máximo.
É onde o MPL é máximo.

Solução: b), por definição.

Exercício de Desenvolvimento

Enunciado: Considere a função de produção \(Q = -KL^3 + 30K^2L^2 + 10L\), com \(K=1\) fixo.

Calcule \(MPL\) e \(APL\). A partir de que valor de \(L\) se verificam rendimentos marginais decrescentes?
Delimite as três etapas do processo produtivo e identifique a Zona Económica de Exploração.

Solução — Desenvolvimento (a)

\[MPL = \frac{dQ}{dL} = -3L^2 + 60L + 10\]

\[APL = \frac{Q}{L} = -L^2 + 30L + 10\]

Rendimentos marginais decrescentes quando \(\frac{d(MPL)}{dL} < 0\): \[\frac{d(MPL)}{dL} = -6L + 60 = 0 \Rightarrow L = 10\]

Para \(L > 10\): rendimentos marginais decrescentes.

Solução — Desenvolvimento (b)

Etapa I → II: \(MPL = APL\)

\[-3L^2 + 60L + 10 = -L^2 + 30L + 10\] \[-2L^2 + 30L = 0 \Rightarrow L(-2L + 30) = 0 \Rightarrow L = 15\]

Etapa II → III: \(MPL = 0\)

\[-3L^2 + 60L + 10 = 0 \Rightarrow L \approx 20.16\]

Etapa	Intervalo em \(L\)
I	\([0,\; 15[\)
II (Zona Econ.)	\([15,\; 20.16]\)
III	\(]20.16,\; +\infty[\)

Procura de Trabalho

Revisão: Etapas do Processo Produtivo

Objectivo: Identificar as três etapas do processo produtivo, compreender a Zona Económica de Exploração, e derivar a Lei da Contratação como condição óptima do produtor.

Recapitulação: APL e MPL

A curto prazo, com \(K = \bar{K}\) fixo e \(L\) variável:

\[MPL = \frac{\Delta Q}{\Delta L} \qquad APL = \frac{Q}{L}\]

Relação fundamental entre as duas medidas:

Quando \(MPL > APL\) → \(APL\) está a crescer
Quando \(MPL = APL\) → \(APL\) está no seu máximo (óptimo técnico)
Quando \(MPL < APL\) → \(APL\) está a decrescer

As 3 Etapas — Diagrama Geral

Etapa I — Rendimentos Marginais Crescentes

Intervalo: \(L \in [0,\, L_1[\) onde \(L_1\) é o ponto em que \(MPL = APL\)

\(MPL\) está a crescer (até ao ponto de inflexão) e depois decresce, mas mantém-se acima de \(APL\)
\(APL\) está sempre a crescer
A empresa ainda não está a aproveitar ao máximo a combinação de fatores

A empresa não se deve fixar na Etapa I — está a produzir abaixo do óptimo técnico, onde a produtividade média ainda pode aumentar.

Etapa II — Zona Económica de Exploração

Intervalo: \(L \in [L_1,\, L_{max}]\) onde \(MPL = APL\) até \(MPL = 0\)

\(APL\) está a decrescer (mas \(APL > 0\))
\(MPL \geq 0\): cada trabalhador adicional ainda contribui positivamente para o output
É aqui que se situam todas as escolhas óptimas de produção

A Zona Económica de Exploração coincide com a Etapa II: entre o óptimo técnico (\(Q_1\), máximo de \(APL\)) e o máximo de produção (\(Q_{max}\), \(MPL = 0\)).

Etapa III — Rendimentos Marginais Negativos

Intervalo: \(L > L_{max}\) onde \(MPL = 0\)

\(MPL < 0\): cada trabalhador adicional reduz o output total
O produto total está a diminuir

Nenhuma empresa racional opera na Etapa III — estaria a pagar trabalhadores para reduzir a sua produção.

Resumo das 3 Etapas

Etapa	Intervalo (L)	MPL	APL	Output
I	\([0,\; L_1[\)	\(> APL\)	crescente	crescente
II (ZEE)	\([L_1,\; L_{max}]\)	\(\geq 0\), \(< APL\)	decrescente	crescente
III	\(]L_{max},\; +\infty[\)	\(< 0\)	decrescente	decrescente

ZEE = Zona Económica de Exploração → Etapa II: onde o produtor racional opera.

Exemplo Numérico — Tabela Completa

\(L\)	\(Q=F(K,L)\)	\(APL\)	\(MPL\)	Etapa
0	0	—	—
1	4	4.00	4	I
2	14	7.00	10	I
3	27	9.00	13	I
4	43	10.75	16	I (máx MPL)
5	58	11.60	15	I
6	72	12.00	14	II (óptimo técnico: APL máx)
7	81	11.57	9	II
8	86	10.75	5	II
9	86	9.56	0	II→III (\(Q_{max}\))
10	78	7.80	\(-8\)	III

Nota: a tabela usa valores arredondados para ilustração; os pontos de fronteira exactos são calculados analiticamente.

Objectivo da Empresa: Maximizar o Lucro

A empresa quer maximizar:

\[\Pi = \underbrace{P \times Q}_{\text{Receita Total}} - \underbrace{W \times L}_{\text{Custo Variável}} - \underbrace{r \times \bar{K}}_{\text{Custo Fixo}}\]

A curto prazo, \(K\) é fixo. A variável de controlo é \(L\). Maximizar \(\Pi\) em ordem a \(L\):

\[\frac{\partial \Pi}{\partial L} = 0\]

Derivação da Condição Óptima

\[\frac{\partial \Pi}{\partial L} = P \cdot \frac{\partial Q}{\partial L} - W = 0\]

Ou seja: \[P \cdot MPL = W\]

Lei da Contratação: A empresa deve contratar trabalho até ao ponto em que o valor do produto marginal do trabalho (\(P \times MPL\)) iguala o salário (\(W\)).

Lei da Contratação — Intuição

\[\underbrace{P \times MPL}_{\text{Benefício Marginal de contratar L}} = \underbrace{W}_{\text{Custo Marginal de contratar L}}\]

Se \(P \cdot MPL > W\): vale a pena contratar mais um trabalhador (receita adicional supera o custo)
Se \(P \cdot MPL < W\): o último trabalhador custa mais do que produz — deve-se reduzir \(L\)
Se \(P \cdot MPL = W\): condição óptima ✓

É a aplicação directa do princípio Cmg = Bmg ao mercado de factores!

Exemplo Resolvido

Dados: \(Q = K^{0.5}L^{0.5}\), \(\bar{K} = 100\), \(P = 10\), \(W = 20\)

A curto prazo: \(Q = 10L^{0.5}\)

\(MPL = \frac{dQ}{dL} = 5 L^{-0.5}\)

Condição óptima: \(P \cdot MPL = W\)

\[10 \times 5L^{-0.5} = 20\] \[50 L^{-0.5} = 20 \implies L^{0.5} = \frac{50}{20} = 2.5 \implies L^* = 6.25\]

Output óptimo: \(Q^* = 10 \times \sqrt{6.25} = 10 \times 2.5 = 25\)

A Relação Produtividade–Salário

Da condição óptima \(P \cdot MPL = W\), podemos escrever:

\[MPL = \frac{W}{P}\]

Esta expressão diz-nos que o produto marginal do trabalho na escolha óptima é igual ao salário real \(W/P\).

Trabalhadores mais produtivos (maior \(MPL\)) justificam salários mais elevados — ou, a preços mais altos, justifica-se contratar mais trabalho. A Lei da Contratação liga diretamente produtividade e remuneração.

Verificação Gráfica

A curva \(P \cdot MPL\) é decrescente (por causa dos rendimentos marginais decrescentes). A empresa contrata \(L^*\) onde essa curva cruza o salário \(W\).

Exercícios — Escolha Múltipla (1)

1. Uma empresa tem \(Q = 4L^{0.5}\), \(P = 5\) e \(W = 10\). Qual a quantidade óptima de trabalho a contratar?

\(L^* = 1\)
\(L^* = 4\)
\(L^* = 9\)
\(L^* = 16\)

Solução: A \(MPL = 2L^{-0.5}\). Lei da contratação: \(P \cdot MPL = W \Rightarrow 5 \times 2L^{-0.5} = 10 \Rightarrow L^{-0.5} = 1 \Rightarrow L^* = 1\).

Exercícios — Escolha Múltipla (2)

2. A empresa está a operar com \(P \cdot MPL > W\). O que deve fazer para maximizar o lucro?

Reduzir o output — está a produzir demasiado.
Manter a produção — já está no óptimo.
Contratar mais trabalho — o benefício marginal supera o custo marginal.
Aumentar o preço de venda.

Solução: C Se \(P \cdot MPL > W\), cada trabalhador adicional gera mais receita do que custa. A empresa deve contratar mais até \(P \cdot MPL = W\).

Exercício de Desenvolvimento

Enunciado: A empresa ALFA tem a função de produção \(Q = -KL^3 + 12L^2 + 60LK^3\), com \(K=1\) fixo. O preço de venda é \(P = 2\) u.m. e o salário unitário é \(W = 168\) u.m.

Calcule \(MPL\) e \(APL\). Delimite as três etapas do processo produtivo.
Aplique a Lei da Contratação para encontrar \(L^*\) e \(Q^*\).
Verifique que \(L^*\) se encontra na Zona Económica de Exploração.

Solução — Desenvolvimento (a)

\[MPL = -3L^2 + 24L + 60\] \[APL = -L^2 + 12L + 60\]

Etapa I → II (\(MPL = APL\)): \[-3L^2 + 24L + 60 = -L^2 + 12L + 60 \implies -2L^2 + 12L = 0 \] \[\implies L(L-6)=0\implies L_1 = 6\]

Etapa II → III (\(MPL = 0\)): \[-3L^2 + 24L + 60 = 0 \implies L^2 - 8L - 20 = 0 \implies (L-10)(L+2) = 0\] \[\implies L_{max} = 10\]

Etapa	Intervalo
I	\([0,\; 6[\)
II (ZEE)	\([6,\; 10]\)
III	\(]10,\; +\infty[\)

Solução — Desenvolvimento (b) e (c)

Lei da Contratação: \(P \cdot MPL = W\)

\[2 \times (-3L^2 + 24L + 60) = 168\] \[-3L^2 + 24L + 60 = 84\] \[-3L^2 + 24L - 24 = 0 \implies L^2 - 8L + 8 = 0\] \[L = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}\]

\(L_1 = 4 - 2\sqrt{2} \approx 1.17\) (Etapa I — não é óptimo)

\(L_2 = 4 + 2\sqrt{2} \approx 6.83\) (Etapa II ✓)

\(L^* \approx 6.83\); \(Q^* = -(6.83)^3 + 12(6.83)^2 + 60(6.83) \approx 650.5\) u.

\(L^* \approx 6.83 \in [6, 10]\) → está na ZEE ✓

Questões de Revisão

Questão 1

A função de produção \(Q = f(K, L)\) relaciona:

O custo total com a quantidade produzida
A quantidade de output com os inputs utilizados
O preço do output com os inputs de capital
A receita total com o número de trabalhadores

Resposta: b)

Questão 2

A regra ótima de contratação de trabalho numa empresa competitiva é:

Contratar até que o salário iguale o produto médio do trabalho
Contratar até que o valor do produto marginal do trabalho iguale o salário: \(P \cdot PMg_L = w\)
Maximizar o número de trabalhadores independentemente do salário
Contratar até que o custo total seja mínimo

Resposta: b) (condição de ótimo: \(VMg_L = w\))

Exercício

Uma empresa tem \(Q = 10L - 0{,}5L^2\). O preço do produto é P = 2 € e o salário é \(w\) = 6 €/hora.

Calcule o produto marginal do trabalho (\(PMg_L\)).
Aplique a regra de contratação ótima: \(P \cdot PMg_L = w\).
Qual o nível óptimo de emprego \(L^*\)?
Qual a produção \(Q^*\)?

Resolução:

\(PMg_L = dQ/dL = 10 - L\)
\(P \cdot PMg_L = w\) → \(2(10 - L) = 6\) → \(20 - 2L = 6\)
\(L^* = \mathbf{7}\) horas
\(Q^* = 10(7) - 0{,}5(49) = 70 - 24{,}5 = \mathbf{45{,}5}\) unidades