Estrutura de Custos

Custos Fixos, Variáveis e Marginais

Paulo Fagandini

ISCAL-IPL

Função de Custos

Objectivo: Derivar e interpretar as componentes da função de custos a curto prazo — fixo, variável, médio e marginal — e compreender as suas relações geométricas e analíticas.

Do Processo Produtivo aos Custos

O objectivo da empresa é maximizar o lucro:

\[\Pi = \text{Receitas Totais} - \text{Custos Totais}\]

Para isso, é necessário conhecer a função de custos: como variam os custos com o nível de produção \(Q\).

A curto prazo, com \(K\) fixo e \(L\) variável, os custos dividem-se em duas componentes muito distintas.

Custo Fixo e Custo Variável

\[CT = C(Q) = CF + CV(Q)\]

  • Custo Fixo (\(CF\)): não depende da quantidade produzida — é o custo dos fatores fixos (\(K\)). Existe mesmo que \(Q = 0\).
  • Custo Variável (\(CV\)): depende da quantidade produzida — é o custo do trabalho contratado (\(W \times L\)). Aumenta com \(Q\).

\(CV(0) = 0\) — se não se produz nada, não se contrata trabalho. Mas \(CF > 0\) mesmo com \(Q = 0\).

Exemplo: Da Função de Produção à Função de Custos

Dados: custo de \(K\) instalado \(= 60\); salário por unidade de \(L\) \(= 250\)

\(L\) \(Q\) \(CF\) \(CV\) \(CT\)
0 0 60 0 60
1 20 60 250 310
2 50 60 500 560
3 85 60 750 810
4 114 60 1 000 1 060
5 140 60 1 250 1 310
6 159 60 1 500 1 560
7 169 60 1 750 1 810
8 164 60 2 000 2 060

Note que a curva de \(CT\) é paralela à de \(CV\) — distam sempre \(CF = 60\).

Gráfico: CT, CV e CF

Custo Marginal

É a variação do custo total quando se produz uma unidade adicional de output:

\[Cmg = \frac{\Delta CT}{\Delta Q} = \frac{dCT}{dQ}\]

Como \(CF\) é constante, \(\Delta CF = 0\), portanto:

\[Cmg = \frac{\Delta CV}{\Delta Q} = \frac{dCV}{dQ}\]

O custo marginal é independente do custo fixo — pode calcular-se a partir de \(CT\) ou de \(CV\) com o mesmo resultado.

Custo Marginal e MPL

Existe uma relação inversa entre \(Cmg\) e \(MPL\). Se o salário por unidade de \(L\) é \(W\):

\[Cmg = \frac{W}{MPL}\]

  • Na Etapa I (MPL crescente) → \(Cmg\) é decrescente
  • No óptimo técnico (APL máximo) → \(Cmg = CVM\) (mínimo de \(CVM\))
  • Na Etapa II (MPL decrescente, \(MPL > 0\)) → \(Cmg\) é crescente

A Lei dos Rendimentos Marginais Decrescentes implica que o \(Cmg\) é crescente na Zona Económica de Exploração — fundamento da Lei da Oferta.

Custos Médios

Dividem o custo por unidade produzida:

  • Custo Fixo Médio: \(CFM = \dfrac{CF}{Q}\) — sempre decrescente (o custo fixo dilui-se por mais unidades)

  • Custo Variável Médio: \(CVM = \dfrac{CV}{Q}\) — forma em \(U\); mínimo onde \(Cmg = CVM\)

  • Custo Total Médio: \(CTM = \dfrac{CT}{Q} = CFM + CVM\) — forma em \(U\); mínimo onde \(Cmg = CTM\)

\[CTM = CFM + CVM \implies CTM > CVM \text{ sempre}\]

Tabela com Todos os Custos

\(L\) \(Q\) \(CT\) \(Cmg\) \(CVM\) \(CTM\) Etapa
0 0 60 — — —
1 20 310 12.50 12.50 15.50 I
2 50 560 8.33 10.00 11.20 I
3 85 810 7.14 8.82 9.53 I
4 114 1 060 8.62 8.77 9.30 I
5 140 1 310 9.62 8.93 9.36 II
6 159 1 560 13.16 9.43 9.81 II
7 169 1 810 25.00 10.36 10.71 II
  • \(Cmg\) decrescente (Etapa I)
  • \(CVM\) próximo do mínimo (onde \(Cmg \approx CVM\))
  • \(CTM\) está sempre acima de \(CVM\) (diferença = \(CFM\))

Geometria dos Custos Médios e Marginal

Propriedades Fundamentais

1. \(Cmg\) intersecta \(CVM\) no mínimo de \(CVM\)

  • Se \(Cmg < CVM\): o custo da última unidade é inferior à média → \(CVM\) desce
  • Se \(Cmg > CVM\): o custo da última unidade é superior à média → \(CVM\) sobe
  • Se \(Cmg = CVM\): estamos no mínimo de \(CVM\)

2. \(Cmg\) intersecta \(CTM\) no mínimo de \(CTM\) (pelo mesmo raciocínio)

3. \(CTM > CVM\) sempre (a diferença é o \(CFM > 0\))

4. \(CFM\) é sempre decrescente e tende para 0 → \(CTM\) converge para \(CVM\) quando \(Q \to \infty\)

Exemplo Analítico Completo

Dada \(CT = Q^3 - 6Q^2 + 15Q + 10\):

\[CF = 10 \quad \text{(termo constante)}\] \[CV = Q^3 - 6Q^2 + 15Q\]

\[Cmg = \frac{dCT}{dQ} = 3Q^2 - 12Q + 15\]

\[CVM = \frac{CV}{Q} = Q^2 - 6Q + 15\] \[CTM = \frac{CT}{Q} = Q^2 - 6Q + 15 + \frac{10}{Q}\]

Mínimo de CVM e CTM

Para \(CT = Q^3 - 6Q^2 + 15Q + 10\):

Mínimo de \(CVM\): onde \(Cmg = CVM\):

\[3Q^2 - 12Q + 15 = Q^2 - 6Q + 15\] \[2Q^2 - 6Q = 0 \implies Q(2Q - 6) = 0 \implies Q_{CVM_{min}} = 3\]

Mínimo de \(CTM\): onde \(Cmg = CTM\), ou \(\frac{dCTM}{dQ} = 0\):

\[\frac{dCTM}{dQ} = 2Q - 6 - \frac{10}{Q^2} = 0\]

Numericamente: \(Q_{CTM_{min}} \approx 3.47\); \(CTM_{min} \approx 9.10\)

Exercícios — Escolha Múltipla (1)

1. Para a função \(CT = 2Q^2 + 8Q + 50\), qual é o Custo Marginal?

  1. \(Cmg = 2Q^2 + 8Q\)
  2. \(Cmg = 4Q + 8\)
  3. \(Cmg = 2Q + 8\)
  4. \(Cmg = 4Q\)

Solução: B \(Cmg = \frac{dCT}{dQ} = 4Q + 8\).

Exercícios — Escolha Múltipla (2)

2. Para qual das seguintes afirmações sobre custos a curto prazo a afirmação é falsa?

  1. O \(CFM\) é sempre decrescente com \(Q\).
  2. O \(Cmg\) intersecta o \(CVM\) no mínimo do \(CVM\).
  3. O \(CTM\) intersecta o \(CVM\) no mínimo do \(CVM\).
  4. O \(Cmg\) é independente do custo fixo.

Solução: C A afirmação c) é falsa. Quem intersecta \(CVM\) no mínimo é o \(Cmg\), não o \(CTM\). O \(CTM\) é sempre maior que o \(CVM\) e intersecta o \(Cmg\) no seu próprio mínimo.

Exercício de Desenvolvimento

Enunciado: Uma empresa tem a função de custos totais \(CT = Q^3 - 9Q^2 + 30Q + 18\).

  1. Identifique \(CF\), \(CV(Q)\), \(CVM(Q)\), \(CTM(Q)\) e \(Cmg(Q)\).

  2. Determine a produção no mínimo de \(CVM\) e o respectivo valor mínimo. Confirme que \(Cmg = CVM\) nesse ponto.

  3. Determine a produção no mínimo de \(CTM\). Confirme que \(Cmg = CTM\) nesse ponto.

Solução — Desenvolvimento (a)

\[CT = Q^3 - 9Q^2 + 30Q + 18\]

\[CF = 18 \qquad CV = Q^3 - 9Q^2 + 30Q\]

\[Cmg = 3Q^2 - 18Q + 30\]

\[CVM = \frac{CV}{Q} = Q^2 - 9Q + 30\] \[CTM = \frac{CT}{Q} = Q^2 - 9Q + 30 + \frac{18}{Q}\]

Solução — Desenvolvimento (b) e (c)

Mínimo de \(CVM\) (\(Cmg = CVM\)): \[3Q^2 - 18Q + 30 = Q^2 - 9Q + 30\] \[2Q^2 - 9Q = 0 \implies Q(2Q - 9) = 0 \implies Q_{CVM_{min}} = 4.5\]

\(CVM(4.5) = 20.25 - 40.5 + 30 = 9.75\)

\(Cmg(4.5) = 3(20.25) - 18(4.5) + 30 = 60.75 - 81 + 30 = 9.75\)

Mínimo de \(CTM\) (\(Cmg = CTM\), ou \(\frac{dCTM}{dQ}=0\)):

\[\frac{dCTM}{dQ} = 2Q - 9 - \frac{18}{Q^2} = 0 \implies 2Q^3 - 9Q^2 - 18 = 0\]

Numericamente: \(Q_{CTM_{min}} \approx 4.87\); \(CTM(4.87) \approx 13.59\); \(Cmg(4.87) \approx 13.50\)

Geometria dos Custos

Geometria dos Custos

Objectivo: Compreender as relações geométricas entre as curvas de custo — como os declives e os raios de origem das curvas de \(CT\) e \(CV\) se relacionam com \(Cmg\), \(CVM\) e \(CTM\) — e sistematizar as correspondências entre produção e custos.

Ponte entre Produção e Custos

Já estabelecemos duas relações fundamentais:

\[Cmg = \frac{w}{MPL} \qquad CVM = \frac{w}{APL}\]

Isto implica uma simetria total entre as curvas de produto e as curvas de custo:

Produção Custo
\(MPL\) crescente \(\Rightarrow\) \(Cmg\) decrescente
\(MPL\) máximo \(\Rightarrow\) \(Cmg\) mínimo
\(MPL\) decrescente \(\Rightarrow\) \(Cmg\) crescente
\(APL\) máximo (óptimo técnico) \(\Rightarrow\) \(CVM\) mínimo

Derivação das Relações

\[Cmg = \frac{\Delta CT}{\Delta Q} = \frac{\Delta CV}{\Delta Q} = \frac{\Delta CV}{\Delta L}\cdot\frac{\Delta L}{\Delta Q} = \frac{w}{MPL}\]

\[CVM = \frac{CV}{Q} = \frac{wL}{Q} = \frac{w}{(Q/L)} = \frac{w}{APL}\]

A geometria das curvas de custo é um espelho invertido da geometria das curvas de produto: onde o produto tem máximo, o custo tem mínimo — e vice-versa.

Cmg é o Declive da Tangente a CV

\(Cmg\) num dado ponto é o declive da recta tangente à curva \(CV\) nesse ponto:

CVM é o Declive do Raio de Origem a CV

\(CVM(Q) = CV(Q)/Q\) é o declive do segmento que une a origem ao ponto \((Q, CV)\):

O mínimo de \(CVM\) ocorre onde o raio de origem é tangente à curva \(CV\). Nesse ponto, raio e tangente coincidem \(\Rightarrow\) \(Cmg = CVM\).

CTM é o Declive do Raio de Origem a CT

Analogamente, \(CTM(Q) = CT(Q)/Q\) é o declive do raio de origem à curva \(CT\):

Diagrama Duplo: CT/CV acima, Custos Médios abaixo

4 Correspondências Fundamentais

  1. \(MPL\) máximo \(\;\Leftrightarrow\;\) \(Cmg\) mínimo — ponto de inflexão em ambas as curvas

  2. \(APL\) máximo (óptimo técnico) \(\;\Leftrightarrow\;\) \(CVM\) mínimo

  3. \(Cmg\) intersecta \(CVM\) no mínimo de \(CVM\) \(\;(Cmg = CVM)\)

  4. \(Cmg\) intersecta \(CTM\) no mínimo de \(CTM\) \(\;(Cmg = CTM)\), e \(Q_{CTM_{min}} > Q_{CVM_{min}}\) sempre

Porquê Cmg intersecta CVM no mínimo?

Raciocínio pela média:

  • \(Cmg < CVM\): a última unidade custa menos que a média \(\Rightarrow\) média desce
  • \(Cmg > CVM\): a última unidade custa mais que a média \(\Rightarrow\) média sobe
  • \(Cmg = CVM\): a média está no seu ponto de viragem \(\Rightarrow\) mínimo

Analogia: numa série de notas de teste, se a nota seguinte for abaixo da média actual, a média desce; se for acima, sobe. A nota que iguala a média é indiferente — é o ponto de mínimo (ou máximo) da média.

CFM, CVM e CTM quando Q → ∞

\[CTM = CFM + CVM = \frac{CF}{Q} + CVM\]

Quando \(Q \to +\infty\): \(\;CFM \to 0\;\) e portanto \(\;CTM \to CVM\).

Exercícios — Escolha Múltipla (1)

1. Para a função \(CT = Q^3 - 12Q^2 + 60Q + 20\), o mínimo do Custo Marginal ocorre em:

  1. \(Q = 3\)
  2. \(Q = 4\)
  3. \(Q = 6\)
  4. \(Q = 12\)

Solução: \(Cmg = 3Q^2 - 24Q + 60\).

Mínimo: \(dCmg/dQ = 6Q - 24 = 0 \Rightarrow Q = 4\).

\(Cmg(4) = 48 - 96 + 60 = 12\).

Condição de 2.ª ordem: \(d^2Cmg/dQ^2 = 6 > 0\) → mínimo ✓

Exercícios — Escolha Múltipla (2)

2. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

  1. O \(CTM\) intersecta o \(CVM\) no mínimo do \(CVM\).
  2. O mínimo de \(CTM\) ocorre sempre para \(Q\) menor do que o mínimo de \(CVM\).
  3. O \(CFM\) é sempre decrescente e tende para zero quando \(Q\) aumenta.
  4. O \(Cmg\) é sempre crescente.

Solução:

    1. Falsa — é o \(Cmg\) que intersecta \(CVM\) no seu mínimo.
    1. Falsa — o mínimo de \(CTM\) ocorre para \(Q\) maior que o de \(CVM\).
  • c) Verdadeira — \(CFM = CF/Q\) é decrescente em \(Q\); \(\lim_{Q\to\infty} CFM = 0\).
    1. Falsa — \(Cmg\) decresce na Etapa I e cresce na Etapa II.

Exercício de Desenvolvimento

Enunciado: Seja \(CT = \dfrac{1}{3}Q^3 - 5Q^2 + 30Q + 48\).

  1. Identifique \(CF\), \(CV\), \(Cmg\), \(CVM\) e \(CTM\).

  2. Encontre o mínimo de \(Cmg\) e o mínimo de \(CVM\). Confirme que \(Cmg = CVM\) no mínimo de \(CVM\).

  3. Verifique que o mínimo de \(CTM\) ocorre para um valor de \(Q\) superior ao mínimo de \(CVM\).

Solução — Desenvolvimento (a) e (b)

\[CF = 48, \qquad CV = \tfrac{1}{3}Q^3 - 5Q^2 + 30Q\]

\[Cmg = Q^2 - 10Q + 30, \quad CVM = \tfrac{1}{3}Q^2 - 5Q + 30, \quad CTM = \tfrac{1}{3}Q^2 - 5Q + 30 + \tfrac{48}{Q}\]

Mínimo de \(Cmg\): \(dCmg/dQ = 2Q - 10 = 0 \;\Rightarrow\; Q = 5\); \(\quad Cmg(5) = 25 - 50 + 30 = 5\)

Mínimo de \(CVM\) — igualar \(Cmg = CVM\):

\[Q^2 - 10Q + 30 = \tfrac{1}{3}Q^2 - 5Q + 30 \;\Rightarrow\; \tfrac{2}{3}Q^2 - 5Q = 0 \;\Rightarrow\; Q\!\left(\tfrac{2}{3}Q - 5\right) = 0 \;\Rightarrow\; Q_{CVM_{min}} = 7.5\]

\(CVM(7.5) = \tfrac{1}{3}(56.25) - 37.5 + 30 = 18.75 - 37.5 + 30 = 11.25\)

\(Cmg(7.5) = 56.25 - 75 + 30 = 11.25\) ✓

Solução — Desenvolvimento (c)

Mínimo de \(CTM\): \(dCTM/dQ = 0\):

\[\frac{2}{3}Q - 5 - \frac{48}{Q^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{2}{3}Q^3 - 5Q^2 - 48 = 0\]

Por tentativas:

\(Q = 8\!:\) \(\tfrac{2}{3}(512) - 5(64) - 48 = 341.3 - 320 - 48 = -26.7 < 0\)

\(Q = 8.5\!:\) \(\tfrac{2}{3}(614.1) - 5(72.25) - 48 = 409.4 - 361.3 - 48 \approx 0.1 \approx 0\) ✓

\(\Rightarrow Q_{CTM_{min}} \approx 8.5\)

\(CTM(8.5) = \tfrac{1}{3}(72.25) - 42.5 + 30 + \tfrac{48}{8.5} \approx 24.08 - 42.5 + 30 + 5.65 \approx 17.23\)

\(Cmg(8.5) = 72.25 - 85 + 30 = 17.25\) ✓

Conclusão: \(Q_{CTM_{min}} \approx 8.5 > Q_{CVM_{min}} = 7.5\) ✓

Questões de Revisão

Questão 1

O custo marginal (Cmg) representa:

  1. O custo total dividido pela quantidade produzida
  2. A variação no custo total quando se produz uma unidade adicional
  3. Os custos fixos por unidade produzida
  4. A diferença entre custo total e custo variável

Resposta: b)

Questão 2

A curva de custo marginal intersecta a curva de custo médio total (CMe):

  1. Sempre no ponto mínimo do Cmg
  2. No ponto mínimo do CMe (pela regra do ‘golfe’)
  3. No ponto máximo do CMe
  4. Nunca se intersectam

Resposta: b)

Exercício

Exercício

Uma empresa tem a seguinte estrutura de custos: \(CF = 100\) €, \(CV(Q) = 2Q + 0{,}5Q^2\).

  1. Escreva as expressões de \(CT\), \(CMe\), \(CVMe\) e \(Cmg\).
  2. Calcule \(Q^*\) que minimiza o \(CMe\).
  3. Qual é o \(CMe\) mínimo?
  4. Verifique que \(Cmg = CMe\) no mínimo.

Resolução:

  1. \(CT = 100 + 2Q + 0{,}5Q^2\); \(CMe = 100/Q + 2 + 0{,}5Q\); \(CVMe = 2 + 0{,}5Q\); \(Cmg = 2 + Q\)

  2. \(dCMe/dQ = 0\): \(-100/Q^2 + 0{,}5 = 0\) → \(Q^2 = 200\) → \(Q^* \approx \mathbf{14{,}14}\)

  3. \(CMe^* = 100/14{,}14 + 2 + 0{,}5(14{,}14) \approx 7{,}07 + 2 + 7{,}07 = \mathbf{16{,}14}\) €

  4. \(Cmg(14{,}14) = 2 + 14{,}14 = 16{,}14 = CMe^*\) ✓