Maximização do Lucro

O Caso Geral: Rmg = Cmg

Paulo Fagandini

ISCAL-IPL

A Regra Universal

Maximização do Lucro

\[\max_Q \; \pi(Q) = R(Q) - C(Q)\]

Condição de primeira ordem:

\[\boxed{\frac{dR}{dQ} = \frac{dC}{dQ} \quad \Leftrightarrow \quad Rmg = Cmg}\]

Esta condição é universal — aplica-se a qualquer estrutura de mercado.

O que muda entre mercados é a forma da receita marginal (\(Rmg\)).

Dois Casos de \(Rmg\)

Caso 1 — Empresa tomadora de preços (concorrência perfeita):

A empresa é pequena demais para influenciar \(P\) → \(R = P \cdot Q\) → \(Rmg = P\)

\[\text{Ótimo: } \boxed{P = Cmg}\]

Caso 2 — Empresa com poder de mercado (monopólio):

A empresa enfrenta a procura de mercado \(P(Q)\) → \(R = P(Q) \cdot Q\)

\[Rmg = P + Q \cdot \frac{dP}{dQ} < P\]

\[\text{Ótimo: } \boxed{Rmg = Cmg \implies P > Cmg}\]

O Índice de Lerner

O markup da empresa com poder de mercado:

\[L = \frac{P - Cmg}{P} = \frac{1}{|\varepsilon|}\]

Onde \(\varepsilon\) é a elasticidade-preço da procura que a empresa enfrenta.

\(|\varepsilon|\) \(L\) Situação
\(\infty\) (concorrência perfeita) 0 \(P = Cmg\)
2 0,5 Markup de 50%
1,5 0,67 Markup de 67%

Note

Ligação às finanças: o Índice de Lerner mede o “moat” competitivo de uma empresa — empresas com maior poder de mercado têm margens mais sustentáveis.

Exemplo Numérico — Monopólio

Procura inversa: \(P = 100 - Q\). Custo total: \(CT = 20Q\).

\(R = PQ = (100-Q)Q = 100Q - Q^2\) → \(Rmg = 100 - 2Q\)

\(Cmg = 20\)

Ótimo: \(100 - 2Q = 20\) → \(Q^* = 40\), \(P^* = 60\)

Verificação Lerner: \[L = \frac{60 - 20}{60} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67\]

\(|\varepsilon|\) em \(Q=40\): \(\varepsilon = (dQ/dP)(P/Q) = -1 \cdot (60/40) = -1{,}5\) → \(L = 1/1{,}5 = 0{,}67\) ✓

Questões de Revisão

Questão 1

Por que razão a receita marginal de um monopolista é inferior ao preço (\(Rmg < P\))?

  1. Porque o monopolista produz menos do que a concorrência

  2. Porque para vender mais uma unidade, o monopolista tem de baixar o preço em toda a quantidade vendida

  3. Porque os custos do monopolista são sempre elevados

  4. Porque o governo regula o preço do monopolista

Resposta: b)

Questão 2

Uma empresa tem Índice de Lerner \(L = 0{,}25\). Qual a elasticidade-preço da procura que enfrenta?

  1. \(|\varepsilon| = 0{,}25\)

  2. \(|\varepsilon| = 4\)

  3. \(|\varepsilon| = 0{,}75\)

  4. \(|\varepsilon| = 2{,}5\)

Resposta: b) (\(L = 1/|\varepsilon|\) → \(|\varepsilon| = 1/0{,}25 = 4\))

Exercício

Exercício

Uma empresa defronta a procura \(P = 80 - 2Q\) e tem \(CT = 10Q + Q^2\).

  1. Escreva as expressões de \(R\), \(Rmg\), \(Cmg\).
  2. Encontre \(Q^*\) e \(P^*\) de lucro máximo.
  3. Calcule o lucro \(\pi^*\).
  4. Calcule o Índice de Lerner e verifique com a elasticidade no ponto ótimo.

Resolução:

  1. \(R = 80Q - 2Q^2\); \(Rmg = 80 - 4Q\); \(Cmg = 10 + 2Q\)

  2. \(Rmg = Cmg\): \(80 - 4Q = 10 + 2Q\) → \(6Q = 70\) → \(Q^* \approx 11{,}67\); \(P^* = 80 - 2(11{,}67) \approx 56{,}67\) €

  3. \(\pi^* = R^* - CT^* = 56{,}67 \times 11{,}67 - [10(11{,}67) + 11{,}67^2] \approx 661 - 253 \approx \mathbf{408}\) €

  4. \(L = (56{,}67 - 33{,}33)/56{,}67 \approx 0{,}41\); \(\varepsilon = (dQ/dP)(P/Q) = (-0{,}5)(56{,}67/11{,}67) \approx -2{,}43\) → \(1/2{,}43 \approx 0{,}41\) ✓