Escolha em Situação de Incerteza I

Valor Esperado, Utilidade Esperada e Aversão ao Risco

Paulo Fagandini

ISCAL-IPL

Porquê Não Basta o Valor Esperado?

O Paradoxo de São Petersburgo

(Daniel Bernoulli, 1738)

Um casino lança uma moeda repetidamente. Paga \(2^n\) euros, onde \(n\) é o número de lançamentos até sair cara.

\[\mathbb{E}[\text{pagamento}] = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \cdot 2^n = \sum_{n=1}^{\infty} 1 = \infty\]

Problema: o valor esperado é infinito — mas ninguém pagaria mais do que alguns euros para jogar!

Important

O valor esperado não é o critério correto para decisões sob incerteza. A utilidade que o indivíduo retira do dinheiro — não o montante em si — é o que importa.

Teoria da Utilidade Esperada

Loterias e Probabilidades

Loteria: resultado incerto com probabilidades conhecidas.

Estado do mundo: - Bom (B): probabilidade \(p\), riqueza \(W_B\) - Mau (M): probabilidade \(1-p\), riqueza \(W_M < W_B\)

Valor esperado: \[\mathbb{E}[W] = p \cdot W_B + (1-p) \cdot W_M\]

Utilidade esperada (von Neumann-Morgenstern): \[\mathbb{E}[u(W)] = p \cdot u(W_B) + (1-p) \cdot u(W_M)\]

Aversão ao Risco e Concavidade

Aversão ao Risco — Definições

Um indivíduo é avesso ao risco se preferir a riqueza esperada com certeza à loteria:

\[u(\mathbb{E}[W]) > \mathbb{E}[u(W)]\]

Isto equivale a \(u\) ser côncava (\(u'' < 0\)) — desigualdade de Jensen.

Exemplos de funções côncavas: \(u(W) = \sqrt{W}\), \(u(W) = \ln W\), \(u(W) = -e^{-aW}\)

Forma de \(u\) Atitude perante o risco
\(u'' < 0\) (côncava) Avesso ao risco
\(u'' = 0\) (linear) Neutro ao risco
\(u'' > 0\) (convexa) Amante do risco

Equivalente de Certeza e Prémio de Risco

Equivalente de certeza (CE): riqueza certa que dá a mesma utilidade que a loteria.

\[u(CE) = \mathbb{E}[u(W)]\]

Prémio de risco (RP):

\[RP = \mathbb{E}[W] - CE > 0 \quad \text{(para avessos ao risco)}\]

Interpretação: o indivíduo está disposto a pagar \(RP\) para eliminar o risco.

Exemplo Numérico

\(u(W) = \sqrt{W}\); loteria: \((W_B = 144, p = 0{,}5; \; W_M = 36, 1-p = 0{,}5)\)

\[\mathbb{E}[W] = 0{,}5 \times 144 + 0{,}5 \times 36 = 90\]

\[\mathbb{E}[u(W)] = 0{,}5\sqrt{144} + 0{,}5\sqrt{36} = 0{,}5(12) + 0{,}5(6) = 9\]

\[CE: \quad \sqrt{CE} = 9 \implies CE = 81\]

\[RP = \mathbb{E}[W] - CE = 90 - 81 = \mathbf{9 \text{ €}}\]

Note

O indivíduo pagaria até 9 € para trocar esta loteria por uma riqueza certa de 81 €, mesmo perdendo 9 € em valor esperado.

Questões de Revisão

Questão 1

Um indivíduo avesso ao risco confronta-se com uma loteria: ganhar 100 € com prob. 50% ou ganhar 0 € com prob. 50%. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

  1. O indivíduo prefere jogar a loteria a receber 50 € com certeza

  2. O equivalente de certeza é superior a 50 €

  3. O equivalente de certeza é inferior a 50 € — o indivíduo paga um prémio de risco para evitar a incerteza

  4. O indivíduo é indiferente entre a loteria e 50 € certos (são equivalentes em valor esperado)

Resposta: c)

Questão 2

O Paradoxo de São Petersburgo demonstra que:

  1. O valor esperado infinito torna o jogo muito atrativo — toda a gente deveria jogar

  2. O valor esperado não é o critério adequado para decisões sob incerteza — a utilidade marginal do dinheiro decresce

  3. As pessoas são irracionais ao recusar pagar muito pelo jogo

  4. A probabilidade de ganhar é zero, logo o VE é zero

Resposta: b)

Exercício

Exercício

A Teresa tem riqueza \(W_0 = 100\) €. Com probabilidade 50% ganha 44 € (fica com 144 €) e com probabilidade 50% perde 75 € (fica com 25 €). A sua utilidade é \(u(W) = \sqrt{W}\).

  1. Calcule o valor esperado da riqueza final.
  2. Calcule a utilidade esperada.
  3. Calcule o equivalente de certeza.
  4. Calcule o prémio de risco.
  5. A Teresa deveria pagar 15 € para eliminar o risco (ficar com \(\mathbb{E}[W] - 15\))? Justifique.

Resolução:

  1. \(\mathbb{E}[W] = 0{,}5 \times 144 + 0{,}5 \times 25 = 72 + 12{,}5 = \mathbf{84{,}5}\) €

  2. \(\mathbb{E}[u] = 0{,}5\sqrt{144} + 0{,}5\sqrt{25} = 0{,}5(12) + 0{,}5(5) = \mathbf{8{,}5}\)

  3. \(\sqrt{CE} = 8{,}5 \Rightarrow CE = \mathbf{72{,}25}\) €

  4. \(RP = 84{,}5 - 72{,}25 = \mathbf{12{,}25}\) €

  5. Pagando 15 €: fica com \(84{,}5 - 15 = 69{,}5\) € certos; \(u(69{,}5) = \sqrt{69{,}5} \approx 8{,}34 < 8{,}5\). Não vale a pena — o custo (15 €) supera o prémio de risco (12,25 €).