Escolha em Situação de Incerteza II

Seguros, Cobertura de Risco e Aplicações em Finanças

Paulo Fagandini

ISCAL-IPL

O Mercado de Seguros

Modelo Base

Riqueza inicial: \(W_0 = 200\) €
Probabilidade de sinistro: \(\pi = 0{,}25\)
Perda em caso de sinistro: \(L = 100\) €

Sem seguro: - Estado bom (prob. 0,75): \(W_B = 200\) € - Estado mau (prob. 0,25): \(W_M = 100\) € - \(\mathbb{E}[W] = 0{,}75 \times 200 + 0{,}25 \times 100 = 175\) €

Prémio atuarialmente justo: \(\Pi_{\text{justo}} = \pi \cdot L = 0{,}25 \times 100 = 25\) €

Com Seguro Completo (Prémio Justo)

Pagando \(\Pi = 25\) €:

Estado bom: \(W_B = 200 - 25 = 175\) €
Estado mau: \(W_M = 100 - 25 + 100 = 175\) €
Riqueza certa = 175 €

Para um avesso ao risco: \(u(175) > \mathbb{E}[u(W_{\text{sem seguro}})]\)

O seguro transforma uma loteria numa riqueza certa com o mesmo valor esperado — o avesso ao risco sempre prefere o seguro completo a prémio justo.

Diagrama de Dois Estados

Prémio Máximo Que o Consumidor Paga

O consumidor paga o prémio máximo \(\Pi^{\max}\) tal que:

\[u(W_0 - \Pi^{\max}) = \mathbb{E}[u(W_{\text{sem seguro}})]\]

Com \(u(W) = \sqrt{W}\), \(W_0 = 200\), \(\pi = 0{,}25\), \(L = 100\):

\[\mathbb{E}[u] = 0{,}75\sqrt{200} + 0{,}25\sqrt{100} \approx 0{,}75(14{,}14) + 0{,}25(10) = 13{,}11\]

\[\sqrt{200 - \Pi^{\max}} = 13{,}11 \implies \Pi^{\max} = 200 - 171{,}9 \approx 28{,}1 \text{ €}\]

Prémio de risco: \(RP = \Pi^{\max} - \Pi_{\text{justo}} = 28{,}1 - 25 = 3{,}1\) €

Aplicações em Finanças

Opções como Instrumentos de Seguro

Uma opção de venda (put) funciona como seguro:

Paga prémio hoje (= prémio de seguro)
Se o ativo cai abaixo de \(K\) (strike), a opção cobre a perda
Se o ativo sobe, a opção expira sem valor (como seguro não reclamado)

Analogia:

Seguro	Opção Put
Prémio \(\Pi\)	Prémio da opção
Perda máxima \(L\)	\(K - S_T\) (se \(S_T < K\))
Estado mau = sinistro	Estado mau = queda do ativo
Estado bom = sem sinistro	Estado bom = subida do ativo

Diversificação como Auto-seguro

Manter vários ativos pouco correlacionados reduz o risco total sem reduzir o retorno esperado — é como self-insurance.

Note

A aversão ao risco explica por que existe procura de seguros, de opções e de diversificação. Todos são mecanismos para transformar loterias em fluxos mais certos — mesmo pagando um prémio.

Questões de Revisão

Questão 1

Um consumidor avesso ao risco, confrontado com um seguro a prémio atuarialmente justo, irá:

Recusar o seguro, pois o prémio reduz a sua riqueza esperada
Escolher seguro parcial para poupar no prémio
Escolher seguro completo — prefere riqueza certa ao mesmo valor esperado que a loteria
Ser indiferente entre ter e não ter seguro

Resposta: c)

Questão 2

O prémio máximo que um avesso ao risco paga por um seguro completo é:

Exatamente igual ao prémio atuarialmente justo \(\pi L\)
Inferior ao prémio justo (o consumidor não paga mais do que o valor esperado da perda)
Superior ao prémio justo em valor igual ao prémio de risco
Zero — o consumidor nunca paga mais do que o valor esperado

Resposta: c) (\(\Pi^{\max} = \Pi_{\text{justo}} + RP\))

Exercício

O António tem \(W_0 = 400\) €. Com probabilidade 20% sofre um sinistro com perda \(L = 300\) €. A sua utilidade é \(u(W) = \sqrt{W}\).

Calcule o prémio atuarialmente justo.
Calcule \(\mathbb{E}[u(W)]\) sem seguro.
Calcule o equivalente de certeza (= \(W_0 - \Pi^{\max}\)).
Qual o prémio máximo que o António paga pelo seguro completo?
Qual é o prémio de risco?

Resolução:

\(\Pi_{\text{justo}} = 0{,}20 \times 300 = \mathbf{60}\) €
\(\mathbb{E}[u] = 0{,}8\sqrt{400} + 0{,}2\sqrt{100} = 0{,}8(20) + 0{,}2(10) = 16 + 2 = \mathbf{18}\)
\(\sqrt{CE} = 18 \Rightarrow CE = \mathbf{324}\) €
\(\Pi^{\max} = W_0 - CE = 400 - 324 = \mathbf{76}\) €
\(RP = \Pi^{\max} - \Pi_{\text{justo}} = 76 - 60 = \mathbf{16}\) €