Escolha de Portfolio

Diversificação, Risco-Retorno e o Papel da Aversão ao Risco

Paulo Fagandini

ISCAL-IPL

O Problema do Portfolio

Ativo Seguro vs. Ativo de Risco

O investidor tem riqueza \(W_0\) e pode repartir entre:

  • Ativo seguro: retorno certo \(r_f\) (ex.: bilhete do tesouro)
  • Ativo de risco: retorno aleatório \(\tilde{r}\), com \(\mathbb{E}[\tilde{r}] > r_f\)

Notação:

  • \(\alpha\) = fração investida no ativo de risco
  • \((1-\alpha)\) = fração no ativo seguro

Retorno da carteira: \[\tilde{r}_p = (1-\alpha)r_f + \alpha \tilde{r} = r_f + \alpha(\tilde{r} - r_f)\]

Retorno e Risco Esperados

Seja \(\tilde{r} \in \{r_B, r_M\}\) com probabilidades \(\{p, 1-p\}\) e \(r_B > r_f > r_M\).

Retorno esperado da carteira: \[\mathbb{E}[\tilde{r}_p] = r_f + \alpha \cdot \underbrace{(\mathbb{E}[\tilde{r}] - r_f)}_{\text{prémio de risco}} \]

Risco (desvio-padrão): \[\sigma_p = \alpha \cdot \sigma_r\]

Portanto: \(\alpha = \sigma_p / \sigma_r\), e podemos escrever a relação retorno-risco como:

\[\mathbb{E}[\tilde{r}_p] = r_f + \underbrace{\frac{\mathbb{E}[\tilde{r}] - r_f}{\sigma_r}}_{\text{Rácio de Sharpe}} \cdot \sigma_p\]

A Fronteira Eficiente (Caso Simples)

Escolha Ótima de \(\alpha\)

O investidor maximiza a utilidade esperada sobre a riqueza final:

\[\max_\alpha \mathbb{E}[u(W_0(1+\tilde{r}_p))]\]

Condição de primeira ordem (caso contínuo):

\[\mathbb{E}[u'(W_0(1+\tilde{r}_p)) \cdot (\tilde{r} - r_f)] = 0\]

Interpretação: no ótimo, o benefício marginal de aumentar \(\alpha\) (mais retorno esperado) iguala o custo marginal (mais risco).

Note

Um avesso ao risco maior (curvatura maior de \(u\)) escolhe \(\alpha^*\) menor — carteira mais conservadora.

Diversificação com Dois Ativos de Risco

Risco de Carteira com Dois Ativos

Dois ativos de risco com retornos \(r_1\), \(r_2\), pesos \(\alpha\) e \((1-\alpha)\):

\[\sigma_p^2 = \alpha^2 \sigma_1^2 + (1-\alpha)^2 \sigma_2^2 + 2\alpha(1-\alpha)\sigma_{12}\]

Correlação: \(\rho = \sigma_{12}/(\sigma_1\sigma_2)\)

Correlação \(\rho\) Benefício da diversificação
\(\rho = 1\) Nenhum — risco proporcional ao peso
\(0 < \rho < 1\) Algum — risco cresce menos que o peso
\(\rho = 0\) Bom — só risco sistemático
\(\rho = -1\) Máximo — pode eliminar todo o risco

Diversificação com \(N\) Ativos

Risco Sistemático vs. Específico

A diversificação elimina o risco específico (idiossincrático) mas não o risco sistemático (de mercado).

CAPM (Capital Asset Pricing Model):

\[\mathbb{E}[r_i] = r_f + \beta_i \cdot (\mathbb{E}[r_m] - r_f)\]

onde \(\beta_i = \text{Cov}(r_i, r_m)/\sigma_m^2\) mede a exposição ao risco de mercado.

Important

O CAPM é uma extensão direta da teoria da escolha de portfolio: num mercado em equilíbrio, os investidores avessos ao risco apenas são compensados pelo risco não diversificável (\(\beta\)).

Questões de Revisão

Questão 1

Um investidor aumenta de 10% para 30% o peso do ativo de risco na sua carteira. O que acontece ao retorno esperado e ao risco?

  1. Retorno esperado sobe, risco mantém-se (a diversificação elimina o risco extra)

  2. Retorno esperado e risco sobem proporcionalmente — o rácio de Sharpe mantém-se

  3. Retorno esperado sobe mas o risco cai (mais diversificação)

  4. Retorno esperado mantém-se, risco sobe (só o risco aumenta com ativos de risco)

Resposta: b) (ao longo da fronteira eficiente com ativo seguro, retorno e risco crescem proporcionalmente)

Questão 2

Dois ativos têm o mesmo retorno esperado e o mesmo risco. A correlação entre eles é \(\rho = -0{,}5\). Uma carteira 50/50:

  1. Tem o mesmo risco que cada ativo individualmente

  2. Tem risco superior a cada ativo (correlação negativa aumenta o risco)

  3. Tem risco inferior a cada ativo — a correlação negativa cria diversificação

  4. É impossível construir esta carteira com correlação negativa

Resposta: c) (correlação negativa reduz \(\sigma_p^2\); com \(\rho=-1\) poderia eliminar todo o risco)

Exercício

Exercício

Um investidor tem 1.000 €. O ativo seguro rende \(r_f = 3\%\). O ativo de risco tem \(\mathbb{E}[r] = 15\%\) e \(\sigma = 25\%\).

  1. Qual é o rácio de Sharpe do ativo de risco?
  2. Se o investidor coloca \(\alpha = 40\%\) no ativo de risco, qual o retorno esperado e o risco da carteira?
  3. Quantos euros estão no ativo de risco? Qual a riqueza final esperada?
  4. Se o investidor quer um risco de carteira de \(\sigma_p = 10\%\), que \(\alpha\) deve escolher?

Resolução:

  1. \(\text{Sharpe} = (15\% - 3\%) / 25\% = \mathbf{0{,}48}\)

  2. \(\mathbb{E}[r_p] = 3\% + 0{,}4 \times 12\% = \mathbf{7{,}8\%}\); \(\sigma_p = 0{,}4 \times 25\% = \mathbf{10\%}\)

  3. \(0{,}4 \times 1.000 = 400\) € no risco. Riqueza final esperada: \(1.000 \times 1{,}078 = \mathbf{1.078}\) €

  4. \(\sigma_p = \alpha \times 25\% = 10\% \Rightarrow \alpha = 10\%/25\% = \mathbf{40\%}\) (coincide com alínea b)