Teoria dos Jogos e Corridas ao Banco

Equilíbrio de Nash, Diamond-Dybvig e Seguro de Depósitos

Paulo Fagandini

ISCAL-IPL

Fundamentos de Teoria dos Jogos

O Que é um Jogo?

Um jogo tem:

  • Jogadores: quem toma decisões
  • Estratégias: as ações possíveis de cada jogador
  • Payoffs: o que cada jogador recebe em cada combinação de estratégias

Equilíbrio de Nash: cada jogador escolhe a melhor resposta à estratégia dos outros — ninguém tem incentivo unilateral para desviar.

Um jogo pode ter múltiplos equilíbrios — e isso cria problemas de coordenação.

Exemplo: Dilema do Prisioneiro

Dois bancos decide se cooperam ou traem (ex.: política de preços, padrões de segurança):

B: Cooperar B: Trair
A: Cooperar 3, 3 0, 5
A: Trair 5, 0 1, 1

Equilíbrio de Nash: (Trair, Trair) — payoff (1,1).

Mesmo que (Cooperar, Cooperar) seja melhor para ambos — o equilíbrio individual é ineficiente.

Note

O dilema do prisioneiro explica corridas ao banco, guerras de preços, e falhas de regulação.

O Modelo Diamond-Dybvig

Estrutura do Modelo

(Diamond & Dybvig, 1983 — Prémio Nobel 2022)

Três períodos: \(t=0\) (depósito), \(t=1\) (possível levantamento), \(t=2\) (maturidade do projeto)

  • Depositantes: dois tipos com igual probabilidade
    • Tipo 1 (impaciência): precisa de consumir em \(t=1\)
    • Tipo 2 (paciente): pode esperar até \(t=2\)
  • Banco: investe num projeto de longa duração; liquidação antecipada (\(t=1\)) devolve \(r_1 < 1\); maturidade (\(t=2\)) devolve \(r_2 > 1\) por unidade

O banco faz transformação de maturidade: converte depósitos de curto prazo em investimentos de longo prazo.

Dois Equilíbrios de Nash

Cada depositante tipo 2 decide: Esperar ou Levantar em \(t=1\).

Equilíbrio 1 — Bom (Fundamental):

Tipo 2 acredita que os outros esperam → banco tem liquidez suficiente em \(t=2\) → Esperar é a melhor resposta.

Equilíbrio 2 — Mau (Corrida ao Banco):

Tipo 2 acredita que os outros vão levantar em \(t=1\) → banco terá de liquidar o projeto → perde menos levantando agora → Levantar é a melhor resposta.

Matriz de Payoffs (Simplificada)

Dois depositantes pacientes (tipo 2), payoff = retorno recebido:

B: Esperar B: Levantar
A: Esperar \(r_2\), \(r_2\) \(r_2\), \(r_1\)
A: Levantar \(r_1\), \(r_2\) \(r_1 \cdot \frac{1}{2}\), \(r_1 \cdot \frac{1}{2}\)

com \(r_2 > r_1 > r_1/2 > 0\)

Equilíbrio 1: (Esperar, Esperar) — ambos recebem \(r_2\) ✓

Equilíbrio 2: (Levantar, Levantar) — ambos recebem \(r_1/2 < r_1\) ✓

Important

Ambos são equilíbrios de Nash. O mau equilíbrio é uma profecia auto-realizável: a crença de que haverá corrida causa a corrida.

Seguro de Depósitos Elimina o Mau Equilíbrio

Com seguro de depósitos (ex.: Fundo de Garantia de Depósitos):

  • Se o banco falhar, o depositante recebe o depósito garantido (até certo limite)

Impacto na matriz: o payoff de “Levantar” em pânico = \(r_1/2\) passa a ser \(\geq\) valor garantido

Para o depositante tipo 2: se o pior caso está garantido, Esperar domina Levantar em pânico.

Note

O seguro de depósitos é uma política de eliminação do equilíbrio mau — não elimina o risco bancário, mas remove o incentivo à corrida por si só.

Corridas a Divisas — Paralelo

A lógica de Diamond-Dybvig aplica-se também a crises cambiais de 2.ª geração (Obstfeld, 1996):

  • Um banco central defende uma paridade cambial com reservas limitadas
  • Cada especulador decide: atacar (vender a divisa) ou não
  • Se suficientes especuladores atacam, as reservas esgotam e a paridade colapsa

Equilíbrio bom: todos acreditam na paridade → ninguém ataca → paridade sustentável

Equilíbrio mau: todos esperam um ataque → atacar é a melhor resposta → paridade colapsa

Mesma estrutura: múltiplos equilíbrios, profecia auto-realizável.

Questões de Revisão

Questão 1

No modelo Diamond-Dybvig, uma corrida ao banco ocorre porque:

  1. O banco cometeu fraude ou é insolvente (passivos > ativos)

  2. É um equilíbrio de Nash auto-realizável — depositantes correm porque acreditam que os outros vão correr, o que torna racional correr

  3. A taxa de juro de longo prazo é inferior à de curto prazo

  4. O banco central recusa emprestar em última instância

Resposta: b)

Questão 2

O seguro de depósitos elimina a corrida ao banco principalmente porque:

  1. Torna os bancos mais lucrativos e capazes de pagar os depósitos

  2. Remove o incentivo a levantar preventivamente — o depositante está protegido mesmo que o banco falhe, logo “Esperar” domina “Correr”

  3. Obriga os bancos a manter reservas de 100% dos depósitos

  4. Aumenta a taxa de juro paga pelos bancos, tornando mais atrativo manter o depósito

Resposta: b)

Exercício

Exercício

Dois investidores (A e B) decidiram investir num fundo imobiliário conjunto. Se ambos mantiverem os fundos por 2 anos, cada um recebe 150. Se ambos saírem antecipadamente, cada um recebe 60 (liquidação forçada). Se um sai e o outro fica, quem sai recebe 90 e quem fica recebe 40 (o restante não é liquidado e perde valor).

  1. Construa a matriz de payoffs 2×2 (estratégias: Ficar / Sair).
  2. Encontre todos os Equilíbrios de Nash.
  3. Qual equilíbrio é eficiente no sentido de Pareto?
  4. Como o seguro (garantia de 80 por unidade) altera o equilíbrio?

Resolução:

B: Ficar B: Sair
A: Ficar 150, 150 40, 90
A: Sair 90, 40 60, 60

  1. (Ficar, Ficar) e (Sair, Sair) são os dois equilíbrios de Nash

  2. (Ficar, Ficar) — Pareto-superior; (Sair, Sair) é ineficiente

  3. Com garantia de 80: “Sair” vale pelo menos 80. Se A sai: \(\max(90,80)=90\); se B fica: 40 < 80 → B sai. Equilíbrio único: (Sair, Sair) — a garantia elimina o equilíbrio bom! (Risco moral da garantia)