Microeconomia

Utilidade e Problema do Consumidor

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🗺️ Tópicos de Hoje

A função Cobb-Douglas (forma geral e forma logarítmica)
Utilidade marginal, outra vez, agora com uma forma concreta
A utilidade em três dimensões
O problema do consumidor: a escolha ótima, resolvida graficamente (tangência e a 2.ª lei de Gossen)
As procuras Marshallianas
Da procura individual à procura em geral

Parte 1: A Função Cobb-Douglas e a Utilidade Marginal 📈

🔁 Onde Ficámos

Na aula passada, concluímos que existe uma função \(U(x_1, x_2)\) que representa as preferências: cabazes preferidos recebem números maiores.

Mas nunca dissemos qual é essa função, só que ela existe e é consistente com os três axiomas.

Para calcular escolhas concretas, precisamos de escolher uma forma específica. 🎯

🍕 Precisamos de Uma Forma Concreta

“Existe uma função \(U\)” é suficiente para provar teoremas, mas não para responder a uma pergunta como: quantas pizzas e quantas saladas deve comprar este consumidor, com este orçamento?

Para isso precisamos de uma fórmula que possamos derivar e calcular.

✖️ A Função Cobb-Douglas

Função Cobb-Douglas

\[U(x_1, x_2) = x_1^{a} \cdot x_2^{b}, \qquad a, b > 0\]

É a forma funcional mais usada em microeconomia: satisfaz não saciedade, transitividade e completude, e gera curvas de indiferença convexas, exatamente como as que construímos à mão na aula passada.

🔢 Simplificando: Normalizar os Expoentes

A utilidade é ordinal, por isso podemos elevar \(U\) a \(1/(a+b)\) sem mudar a ordenação:

\[U(x_1, x_2) = x_1^{\alpha} \cdot x_2^{1-\alpha}, \qquad \alpha = \frac{a}{a+b} \in (0,1)\]

Esta é a forma normalizada: os expoentes somam sempre 1. É a forma que vamos usar em todos os problemas deste curso.

🎚️ O Que Significa \(\alpha\)?

\(\alpha\) mede o peso relativo do bem 1 nas preferências do consumidor.

\(\alpha\) perto de 1: o consumidor dá muito mais valor a \(x_1\)
\(\alpha\) perto de 0: o consumidor dá muito mais valor a \(x_2\)
\(\alpha = 0{,}5\): os dois bens pesam o mesmo

🔗 Ligando ao Que Já Conhecemos

A função \(U(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2\) que usámos na aula passada para desenhar curvas de indiferença…

…é exatamente o caso Cobb-Douglas com \(\alpha = 0{,}5\): \(x_1^{0{,}5} \cdot x_2^{0{,}5}\) é uma transformação crescente de \(x_1 \cdot x_2\). 💡

🪜 Utilidade Marginal, Outra Vez

Relembrando a definição: \(\text{UMg}_1\) e \(\text{UMg}_2\) são as derivadas parciais de \(U\), a satisfação extra de uma unidade adicional de cada bem, mantendo o outro fixo.

\[\text{UMg}_1 = \frac{\partial U}{\partial x_1}, \qquad \text{UMg}_2 = \frac{\partial U}{\partial x_2}\]

🧮 Utilidade Marginal na Cobb-Douglas

Com \(U = x_1^{\alpha}\, x_2^{1-\alpha}\):

\[\text{UMg}_1 = \frac{\partial U}{\partial x_1} = \alpha\, x_1^{\alpha - 1}\, x_2^{1-\alpha}\]

\[\text{UMg}_2 = \frac{\partial U}{\partial x_2} = (1-\alpha)\, x_1^{\alpha}\, x_2^{-\alpha}\]

📉 Utilidade Marginal Decrescente

Fixa \(x_2\) e aumenta \(x_1\). O que acontece a \(\text{UMg}_1\)?

\[\frac{\partial\, \text{UMg}_1}{\partial x_1} = \alpha(\alpha - 1)\, x_1^{\alpha - 2}\, x_2^{1-\alpha} < 0 \quad \text{porque } \alpha < 1\]

\(\text{UMg}_1\) diminui à medida que \(x_1\) aumenta: cada pizza adicional dá menos satisfação extra do que a anterior, mantendo a salada fixa.

Antes de ver isto num gráfico da própria \(\text{UMg}_1\), vale a pena olhar para a utilidade em si.

🍕 Utilidade Parcial: Fixar um Bem

Se fixarmos \(x_2\) e deixarmos \(x_1\) variar, obtemos um “corte” da montanha na direção de \(x_1\) (e vice-versa).

Repara: sobem cada vez mais devagar, ficam mais “deitadas”. Já é a utilidade marginal decrescente, a olho. 👀

📉 UMg: O Declive da Utilidade Parcial

A utilidade marginal é o declive destas curvas, em cada ponto:

Em cada coluna, o gráfico de baixo é o declive do de cima. A mesma informação, vista de duas formas. 🎯

🗻 A Utilidade em Três Dimensões

Até agora desenhámos \(U\) em duas dimensões. Mas \(U(x_1, x_2)\) é uma superfície: para cada cabaz, uma altura. Arrasta para rodar. 🖱️

Curvas de nível (vista de cima)

Mais longe da origem, mais alto: não saciedade, em relevo. “Mostrar cortes” revela essas alturas como curvas de indiferença. ⛰️

🔗 TMS da Cobb-Douglas

\[|\text{TMS}| = \frac{\text{UMg}_1}{\text{UMg}_2} = \frac{\alpha\, x_1^{\alpha-1}\, x_2^{1-\alpha}}{(1-\alpha)\, x_1^{\alpha}\, x_2^{-\alpha}}\]

Simplificando:

\[\boxed{|\text{TMS}| = \frac{\alpha}{1-\alpha} \cdot \frac{x_2}{x_1}}\]

Com \(\alpha = 0{,}5\), isto reduz-se a \(|\text{TMS}| = x_2 / x_1\), exatamente o que calculámos na aula passada para \(U = x_1 x_2\). ✅

🔢 Exercício Resolvido: TMS

Considere \(U(x_1, x_2) = x_1^{0{,}4}\, x_2^{0{,}6}\) e o cabaz \((x_1, x_2) = (5, 10)\).

\[|\text{TMS}| = \frac{0{,}4}{0{,}6} \cdot \frac{10}{5} = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\]

O consumidor está disposto a ceder cerca de 1,33 unidades de \(x_2\) por uma unidade adicional de \(x_1\), neste cabaz.

✅ Questões de Revisão (Parte 1)

Pergunta 1

Se \(U = x_1^{0{,}3}\, x_2^{0{,}7}\) e \(V = U^2\), o que podemos afirmar?

\(U\) e \(V\) representam as mesmas preferências
\(V\) dá sempre o dobro da satisfação de \(U\)
\(U\) e \(V\) representam preferências diferentes
\(V\) só é válida se \(x_1 > x_2\)

✅ Pergunta 1 (Solução)

Solução

Resposta: a) \(V = U^2\) é uma transformação crescente de \(U\) (para \(U > 0\)), logo preserva a ordenação dos cabazes: representa as mesmas preferências.

Pergunta 2

Na Cobb-Douglas \(U = x_1^{\alpha}\, x_2^{1-\alpha}\), o que acontece a \(\text{UMg}_1\) quando \(x_1\) aumenta, mantendo \(x_2\) fixo?

Aumenta sempre
Mantém-se constante
Diminui, porque \(\alpha < 1\)
Diminui só se \(\alpha > 0{,}5\)

Resposta: c) \(\partial\text{UMg}_1/\partial x_1 = \alpha(\alpha-1)x_1^{\alpha-2}x_2^{1-\alpha} < 0\) para qualquer \(\alpha \in (0,1)\).

Pergunta 3 (Exercício)

Considere \(U(x_1, x_2) = x_1^{0{,}25}\, x_2^{0{,}75}\).

a) Calcule \(\text{UMg}_1\) e \(\text{UMg}_2\) no cabaz \((x_1, x_2) = (4, 8)\).

b) Calcule \(|\text{TMS}|\) nesse cabaz e interprete.

✅ Pergunta 3 (Solução)

Solução

a) \(\text{UMg}_1 = 0{,}25 \cdot 4^{-0{,}75} \cdot 8^{0{,}75} = 0{,}25 \times 2^{0{,}75} \approx 0{,}25 \times 1{,}68 \approx 0{,}42\)

\(\text{UMg}_2 = 0{,}75 \cdot 4^{0{,}25} \cdot 8^{-0{,}25} = 0{,}75 \times 0{,}5^{0{,}25} \approx 0{,}75 \times 0{,}84 \approx 0{,}63\)

b) \(|\text{TMS}| = \dfrac{0{,}25}{0{,}75} \cdot \dfrac{8}{4} = \dfrac{1}{3} \times 2 = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67\): o consumidor cede cerca de 0,67 unidades de \(x_2\) por uma unidade extra de \(x_1\), neste cabaz. Repara que isto coincide com \(\text{UMg}_1/\text{UMg}_2 \approx 0{,}42/0{,}63 \approx 0{,}67\), como tem de ser.

Parte 2: O Problema do Consumidor 🎯

🧩 Juntando as Duas Peças

Já temos as duas peças que faltavam:

Preferências: \(U(x_1, x_2) = x_1^{\alpha}\, x_2^{1-\alpha}\)
Restrição: \(p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq W\) (aula 2)

Falta uma pergunta: qual é o cabaz acessível que dá mais satisfação?

📐 Formalizando o Problema

O Problema do Consumidor

\[\max_{x_1, x_2}\; U(x_1, x_2) = x_1^{\alpha}\, x_2^{1-\alpha} \qquad \text{sujeito a} \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = W\]

Porque igualdade e não \(\leq\)? Pela não saciedade (aula passada): mais é sempre melhor, por isso o consumidor ótimo nunca deixa dinheiro por gastar.

🤔 Como Encontrar o Melhor Cabaz?

O consumidor pode comprar qualquer cabaz dentro do orçamento: são infinitos. Por onde começar?

Primeira pista, da não saciedade: mais é sempre melhor, por isso nunca vale a pena deixar dinheiro por gastar. O cabaz ótimo está em cima da reta orçamental, não no interior. 🎯

Isto reduz a busca de uma área para uma linha. Mas ainda são infinitos pontos nessa linha. Qual deles?

📍 Começar num Ponto Qualquer

Escolhe um cabaz \(A\) em cima da reta orçamental. Passa por ele a curva de indiferença: todos os cabazes que dão a mesma satisfação que \(A\).

Pergunta simples: consegues fazer melhor do que \(A\) sem sair do orçamento? 🤔

🔍 Os Cabazes “Melhores”

“Melhor que \(A\)” quer dizer: acima da curva de indiferença que passa por \(A\) (mais afastado da origem, mais satisfação).

“Acessível” quer dizer: dentro ou em cima da reta orçamental.

Se existir um cabaz que seja as duas coisas ao mesmo tempo, então \(A\) não é o melhor: há um cabaz melhor e ainda acessível. O conjunto “melhores \(\cap\) acessíveis” não está vazio. 💡

🧪 Gráfico Interativo: o Ótimo

Arrasta o ponto \(A\) ao longo da reta. A zona sombreada são os cabazes melhores e acessíveis. Fá-la desaparecer. 🖱️

α = 0,5 W = 120 p₁ = 4 p₂ = 6

x₁ = x₂ =

|TMS| = x₂/x₁ =

p₁/p₂ = 0,67

O ótimo é onde a zona sombreada desaparece: já não há cabaz melhor e acessível. 🎯

🎯 O Ótimo: A Reta Toca a Curva

Quando a zona sombreada desaparece, a curva de indiferença deixa de atravessar a reta orçamental e passa a apenas tocá-la num ponto: são tangentes.

Nesse ponto ótimo acontecem duas coisas ao mesmo tempo:

O cabaz está em cima da reta: \(p_1 x_1 + p_2 x_2 = W\) (gasta tudo).
A curva de indiferença e a reta têm o mesmo declive nesse ponto.

📐 A Condição de Tangência: |TMS| = p₁/p₂

O declive da curva de indiferença é a TMS; em valor absoluto, \(|\text{TMS}|\) (aula passada). O declive da reta orçamental é \(-p_1/p_2\), com valor absoluto \(p_1/p_2\) (aula 2).

Mesmo declive, no ótimo (em valor absoluto):

\[\boxed{|\text{TMS}| = \frac{p_1}{p_2}}\]

A esta condição chamamos a segunda lei de Gossen. Não a assumimos: saiu do gráfico, de esgotar os cabazes melhores. 🎯

💶 Interpretação 1: Benefício = Custo, na Margem

O que é \(|\text{TMS}|\)? Quanto de bem 2 estás disposto a ceder por mais uma unidade de bem 1, mantendo a satisfação.

Multiplica por \(p_2\): então \(p_2 \cdot |\text{TMS}|\) é o valor em euros que abdicas para ter mais uma unidade de bem 1. É a tua disposição a pagar (DAP) por essa unidade, o benefício marginal dela em euros.

A condição \(|\text{TMS}| = p_1/p_2\) é o mesmo que \(p_2 \cdot |\text{TMS}| = p_1\):

\[\underbrace{p_2 \cdot |\text{TMS}|}_{\text{DAP} \,=\, \text{benefício marginal}} \;=\; \underbrace{p_1}_{\text{custo marginal}}\]

No ótimo, o que estás disposto a pagar por mais uma unidade é exatamente o que ela custa. 💶

📉 Benefício Marginal = Custo Marginal, em Gráfico

À esquerda de \(x_1^{*}\): a DAP é maior que o preço, cada unidade extra vale mais do que custa, compra mais. À direita: vale menos do que custa, compra menos. Igualam-se em \(x_1^{*}\). 🎯

⚖️ Interpretação 2: Utilidade por Euro

Como \(|\text{TMS}| = \text{UMg}_1/\text{UMg}_2\), a condição \(|\text{TMS}| = p_1/p_2\) é equivalente a:

\[\frac{\text{UMg}_1}{\text{UMg}_2} = \frac{p_1}{p_2} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\frac{\text{UMg}_1}{p_1} = \frac{\text{UMg}_2}{p_2}}\]

Cada lado é a satisfação extra por euro gasto em cada bem. No ótimo, o último euro gasto em qualquer um dos dois bens dá exatamente a mesma satisfação extra: não compensa mudar dinheiro de um bem para o outro.

⚖️ Utilidade por Euro: E Se Não Forem Iguais?

Se \(\text{UMg}_1/p_1 > \text{UMg}_2/p_2\), um euro rende mais no bem 1.

Compensa gastar mais em \(x_1\) e menos em \(x_2\), até a igualdade se restabelecer.

É o mesmo raciocínio de benefício marginal = custo marginal, aplicado por euro gasto: continua a mudar dinheiro entre bens enquanto um lado render mais do que o outro. 💡

🧩 Resolver: Duas Equações, Duas Incógnitas

O ótimo fica caracterizado por duas condições, um sistema de duas equações a duas incógnitas \((x_1, x_2)\):

Sistema do ótimo

\[\begin{cases} |\text{TMS}| = \dfrac{p_1}{p_2} & \text{(tangência, 2.ª lei de Gossen)} \\[1.1em] p_1 x_1 + p_2 x_2 = W & \text{(restrição orçamental)} \end{cases}\]

🧮 Aplicar à Cobb-Douglas

O valor absoluto da TMS da Cobb-Douglas, da Parte 1, é \(|\text{TMS}| = \dfrac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\dfrac{x_2}{x_1}\). A primeira equação fica:

\[\frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\frac{x_2}{x_1} = \frac{p_1}{p_2}\]

Arrumando, isto relaciona as duas despesas:

\[\alpha\, p_2 x_2 = (1-\alpha)\, p_1 x_1 \quad\Rightarrow\quad p_2 x_2 = \frac{1-\alpha}{\alpha}\, p_1 x_1\]

🧮 Aplicar à Cobb-Douglas (cont.)

Substituindo na restrição \(p_1 x_1 + p_2 x_2 = W\):

\[p_1 x_1 + \underbrace{\frac{1-\alpha}{\alpha}\, p_1 x_1}_{=\; p_2 x_2} = W \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\alpha}\, p_1 x_1 = W\]

\[\boxed{x_1^{*} = \frac{\alpha\, W}{p_1}} \qquad \text{e, da restrição,} \qquad \boxed{x_2^{*} = \frac{(1-\alpha)\, W}{p_2}}\]

Duas equações, um par de contas, e temos o cabaz ótimo. ✅

✅ As Procuras Marshallianas

Procura Marshalliana

\[\boxed{x_1^{*}(p_1, p_2, W) = \frac{\alpha\, W}{p_1}} \qquad \boxed{x_2^{*}(p_1, p_2, W) = \frac{(1-\alpha)\, W}{p_2}}\]

São as quantidades que o consumidor escolhe, em função dos preços e do rendimento, resolvendo o problema. É a isto que chamamos procura Marshalliana.

💰 Quotas de Despesa Constantes

Quotas de despesa constantes

Na Cobb-Douglas, o consumidor gasta sempre a fração \(\alpha\) do rendimento no bem 1 e \((1-\alpha)\) no bem 2, independentemente dos preços:

\[p_1 x_1^{*} = \alpha\, W \qquad p_2 x_2^{*} = (1-\alpha)\, W\]

🔢 Exemplo Numérico Resolvido

Dados: \(\alpha = 0{,}6\), \(W = 1000\), \(p_1 = 20\), \(p_2 = 10\).

\[x_1^{*} = \frac{0{,}6 \times 1000}{20} = 30 \qquad x_2^{*} = \frac{0{,}4 \times 1000}{10} = 40\]

Verificação: \(p_1 x_1^{*} + p_2 x_2^{*} = 20\times30 + 10\times40 = 600 + 400 = 1000 = W\) ✓

🧪 Experimenta: Escolha Ótima Interativa

Mexe nos sliders. A curva de indiferença desenhada passa sempre pelo ponto ótimo calculado.

α: 0.50

p₁: 10

p₂: 5

W: 100

x₁*:
x₂*:

✅ Questões de Revisão (Parte 2)

Pergunta 4

Com \(U = x_1^{0{,}5}\, x_2^{0{,}5}\), \(W = 200\), \(p_1 = 10\), \(p_2 = 5\), qual é a quantidade ótima de \(x_1\)?

Resposta: d) \(x_1^{*} = 0{,}5 \times 200 / 10 = 10\)

Pergunta 5

Se o preço do bem 1 duplicar (tudo o resto constante), na Cobb-Douglas:

A despesa no bem 1 duplica
A despesa no bem 1 mantém-se, mas a quantidade comprada cai para metade
A despesa no bem 1 e a quantidade comprada diminuem
O consumidor deixa de comprar o bem 1

✅ Pergunta 5 (Solução)

Solução

Resposta: b) \(p_1 x_1^{*} = \alpha W\) é constante, independente de \(p_1\). Se \(p_1\) duplica, \(x_1^{*}\) tem de cair para metade para manter essa despesa.

Pergunta 6 (Exercício)

Um consumidor tem \(U = x_1^{0{,}3}\, x_2^{0{,}7}\), \(W = 500\), \(p_1 = 5\), \(p_2 = 10\).

a) Determine o cabaz ótimo \((x_1^{*}, x_2^{*})\).

b) Verifique que o orçamento é inteiramente gasto.

✅ Pergunta 6 (Solução)

Solução

a) \(x_1^{*} = \dfrac{0{,}3 \times 500}{5} = 30 \qquad x_2^{*} = \dfrac{0{,}7 \times 500}{10} = 35\)

b) \(5 \times 30 + 10 \times 35 = 150 + 350 = 500 = W\) ✓

Parte 3: Das Procuras Marshallianas à Procura em Geral 🔀

📖 O Que É Mesmo Uma Procura Marshalliana?

\(x_1^{*}(p_1, p_2, W)\) não é só um número: é uma função, o resultado de resolver o problema de maximização para quaisquer preços e rendimento.

É a esta função, escolha ótima em função de preços e rendimento, que chamamos procura Marshalliana.

📉 A Procura do Bem 1 em Função do Seu Preço

Fixando \(\alpha\), \(W\) e \(p_2\), e deixando \(p_1\) variar:

\[x_1^{*}(p_1) = \frac{\alpha W}{p_1}\]

Isto é literalmente a curva de procura deste consumidor para o bem 1.

✅ A Lei da Procura

\[\frac{\partial x_1^{*}}{\partial p_1} = -\frac{\alpha W}{p_1^2} < 0, \quad \text{sempre}\]

Lei da Procura

Quando o preço de um bem sobe, a quantidade procurada desse bem desce, mantendo tudo o resto constante.

💶 O Efeito do Rendimento

\[\frac{\partial x_1^{*}}{\partial W} = \frac{\alpha}{p_1} > 0\]

Quando o rendimento sobe, a quantidade procurada também sobe: na Cobb-Douglas, os dois bens são sempre bens normais.

Nem todos os bens se comportam assim: bens inferiores, cuja procura cai quando o rendimento sobe, existem, mas não podem surgir de uma utilidade Cobb-Douglas. Voltaremos a isto com outras formas de \(U\).

🚫 O Preço do Outro Bem Não Entra

Repara: \(x_1^{*} = \alpha W / p_1\) não depende de \(p_2\).

Esta é uma propriedade especial da Cobb-Douglas, não uma verdade geral: para outras formas de \(U\), a procura de um bem pode depender do preço do outro.

🧭 Da Procura Individual à Procura em Geral

O mesmo método, a tangência entre a curva de indiferença e a reta orçamental (mais a restrição), funciona para qualquer forma de \(U\), não só Cobb-Douglas. O resultado é sempre uma função \(x_1^{*}(p_1, p_2, W)\) com duas propriedades gerais.

1. Homogeneidade de grau zero: só os preços relativos e o rendimento relativo importam. Duplicar \(p_1\), \(p_2\) e \(W\) ao mesmo tempo não muda a escolha ótima.

🧭 Da Procura Individual à Procura em Geral (cont.)

2. Esgotamento do orçamento: \(p_1 x_1^{*} + p_2 x_2^{*} = W\), sempre, consequência direta da não saciedade.

Estas duas propriedades não são exclusivas da Cobb-Douglas: qualquer procura Marshalliana bem-comportada as satisfaz, seja qual for a forma de \(U\).

🔮 Nem Toda a Procura é Tão Simples

Para outras formas de utilidade, a curva de procura pode não ser uma hipérbole suave: pode depender do outro preço, ter segmentos retos, ou até “saltos”.

A Cobb-Douglas é um caso particularmente simples e bem comportado, ótimo para aprender o método. 🎓

✅ Questões de Revisão (Parte 3)

Pergunta 7

Para uma Cobb-Douglas, a procura do bem 1, \(x_1^{*}(p_1, p_2, W)\):

Depende de \(p_1\), \(p_2\) e \(W\)
Depende só de \(p_2\)
Depende só de \(p_1\) e \(W\), não de \(p_2\)
Não depende de nenhum preço

Resposta: c) \(x_1^{*} = \alpha W / p_1\) não tem \(p_2\).

Pergunta 8

Se duplicarmos \(p_1\), \(p_2\) e \(W\) todos ao mesmo tempo, a escolha ótima \((x_1^{*}, x_2^{*})\):

Duplica também
Mantém-se exatamente igual
Cai para metade
Depende de \(\alpha\)

✅ Pergunta 8 (Solução)

Solução

Resposta: b) A procura Marshalliana é homogénea de grau zero: só os preços e o rendimento relativos importam, pelo que duplicar \(p_1\), \(p_2\) e \(W\) ao mesmo tempo não altera a escolha ótima.

Pergunta 9 (Exercício)

Um consumidor tem \(U = x_1^{0{,}5}\, x_2^{0{,}5}\) e \(W = 300\), \(p_2 = 5\).

a) Calcule \(x_1^{*}\) para \(p_1 = 10\).

b) Calcule \(x_1^{*}\) para \(p_1 = 20\). A lei da procura confirma-se?

✅ Pergunta 9 (Solução)

Solução

a) \(x_1^{*} = 0{,}5 \times 300 / 10 = 15\)

b) \(x_1^{*} = 0{,}5 \times 300 / 20 = 7{,}5\)

O preço duplicou e a quantidade procurada caiu de 15 para 7,5: consistente com a lei da procura.

❓ E a Seguir?

Hoje derivámos a procura de um consumidor, a partir da maximização da sua utilidade.

Mas o mercado tem muitos consumidores, e a procura Marshalliana individual nem sempre é fácil de somar ou de manipular diretamente.

Na próxima aula: passamos para modelos de procura de mercado, com ênfase na forma linear, muito usada na prática, e medimos a sensibilidade da procura ao preço com a elasticidade. 📊