Microeconomia

Consumo Intertemporal

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🗺️ Tópicos de Hoje

  • O tempo como uma dimensão nova: consumir hoje ou consumir amanhã
  • Construir a restrição orçamental intertemporal, passo a passo
  • Poupar e pedir emprestado, vistos como um só mecanismo
  • Uma utilidade com desconto do futuro (o fator \(\beta\)) e a tangência da aula anterior, aplicados ao tempo
  • Poupador ou devedor? E o que muda quando a taxa de juro sobe

Parte 1: A Restrição Orçamental Intertemporal 🕰️

🔁 Onde Ficámos

Nas últimas aulas, o consumidor resolveu sempre o mesmo problema: distribuir um rendimento \(W\) entre dois bens diferentes, \(x_1\) e \(x_2\), no mesmo momento.

Repara numa coisa que nunca dissemos explicitamente: em todo esse problema, não havia tempo. Era uma fotografia, um instante único.

Hoje introduzimos o tempo pela primeira vez. 🎯

⏳ Uma Dimensão Que Faltava

E se, em vez de dois bens, tivermos o mesmo bem (“consumo”, em euros) disponível em dois momentos diferentes?

Chamamos \(c_1\) ao consumo hoje (período 1) e \(c_2\) ao consumo amanhã (período 2).

Para manter tudo simples, vamos ficar só com dois períodos. As ideias generalizam-se para mais períodos, mas a intuição toda já aparece com dois. ✌️

💶 O Cenário Mais Simples: Sem Banco

Suponha que a Maria recebe \(W_1\) euros hoje e sabe que vai receber \(W_2\) euros amanhã. Não existe nenhum banco, nenhuma forma de guardar ou adiantar dinheiro.

Neste mundo, a escolha está feita antes de começar: \(c_1 = W_1\) e \(c_2 = W_2\). Não há problema de otimização nenhum, porque não há alternativa. 😐

Para termos um problema de escolha interessante, precisamos de uma forma de mover recursos entre períodos.

🏦 Introduzindo o Banco

Suponha agora que existe um banco onde a Maria pode poupar ou pedir emprestado, à mesma taxa de juro \(r\).

Chamamos \(S\) à poupança do período 1: \(S = W_1 - c_1\).

  • \(S > 0\): a Maria consome menos do que recebe hoje e poupa a diferença.
  • \(S < 0\): a Maria consome mais do que recebe hoje, ou seja, pede emprestado.

Poupar e pedir emprestado são, matematicamente, a mesma operação com sinal trocado. 💡

1️⃣ Passo 1: O Que Sobra Para o Período 2

No período 2, a Maria recebe \(W_2\), mais o que guardou no banco, já com juros.

\[c_2 = W_2 + (1+r)\,S\]

Se \(S > 0\) (poupou), o banco devolve o capital mais juros: mais consumo amanhã. Se \(S < 0\) (pediu emprestado), tem de devolver capital mais juros: menos consumo amanhã. A fórmula funciona nos dois casos. ✅

2️⃣ Passo 2: Substituir \(S\)

Sabemos que \(S = W_1 - c_1\). Substituindo em \(c_2 = W_2 + (1+r)S\):

\[c_2 = W_2 + (1+r)(W_1 - c_1)\]

Agora \(c_2\) está escrito em função de \(c_1\) e das constantes \(W_1, W_2, r\): exatamente o mesmo tipo de manobra que já fizemos com a restrição orçamental estática. 🔁

3️⃣ Passo 3: Rearranjar

Distribuindo o \((1+r)\) e reagrupando os termos em \(c_1\) e \(c_2\) de um lado:

\[c_2 = W_2 + (1+r)W_1 - (1+r)c_1\]

\[\Rightarrow \quad (1+r)\,c_1 + c_2 = (1+r)\,W_1 + W_2\]

Esta é a restrição intertemporal em valor futuro: tudo medido em euros do período 2.

4️⃣ Passo 4: Passar Para Valor Presente

Dividindo tudo por \((1+r)\):

\[\boxed{c_1 + \frac{c_2}{1+r} = W_1 + \frac{W_2}{1+r}}\]

Chamamos \(W\) ao lado direito, o valor presente da riqueza da Maria (o mesmo \(W\) de sempre, agora com um segundo período):

\[W = W_1 + \frac{W_2}{1+r}\]

🔗 Ligando ao Que Já Conhecemos

Repara na forma da restrição: \(c_1 + \dfrac{c_2}{1+r} = W\).

Compara com a restrição estática de sempre: \(p_1 x_1 + p_2 x_2 = W\).

São a mesma equação, com \(x_1 \to c_1\), \(x_2 \to c_2\), \(p_1 = 1\), \(p_2 = \dfrac{1}{1+r}\): é o mesmo \(W\) de sempre, só que agora soma dois períodos. 🎯

Nada na matemática muda. Só a interpretação: o “preço” do consumo de amanhã, em euros de hoje, é \(\dfrac{1}{1+r}\): o fator de desconto.

🗺️ O Diagrama de Fisher

Representamos \(c_1\) no eixo horizontal e \(c_2\) no eixo vertical, tal como fazíamos com \(x_1\) e \(x_2\).

O ponto \(E = (W_1, W_2)\), a dotação, é o que a Maria consumiria sem banco nenhum.

🎯 A Dotação Está Sempre na Reta

Repara: se \(c_1 = W_1\), a restrição dá \(c_2 = W_2\) exatamente, qualquer que seja \(r\).

Faz sentido: consumir exatamente o que se recebe em cada período não exige poupar nem pedir emprestado nada. É sempre uma opção disponível. ✅

Vamos usar este facto simples daqui a pouco: ele é a chave para perceber os efeitos de uma mudança em \(r\).

📐 O Declive da Reta

\[c_1 + \frac{c_2}{1+r} = W \quad\Rightarrow\quad c_2 = (1+r)W - (1+r)\,c_1\]

O declive é \(-(1+r)\): exatamente como \(-p_1/p_2\) na restrição estática, com \(p_1=1\) e \(p_2=1/(1+r)\).

Interpretação: para consumir 1 euro a mais hoje, é preciso desistir de \((1+r)\) euros amanhã. É o custo de oportunidade de gastar hoje em vez de poupar. 💡

💰 Poupar vs. Pedir Emprestado

Mover-se ao longo da reta, a partir de \(E\):

  • Para a esquerda de \(E\) (\(c_1 < W_1\)): a Maria consome menos hoje do que recebe. É poupadora (\(S = W_1 - c_1 > 0\)).
  • Para a direita de \(E\) (\(c_1 > W_1\)): a Maria consome mais hoje do que recebe. É devedora (\(S < 0\)).

O banco não muda o rendimento da Maria. Só lhe dá mais opções: pontos na reta que não são \(E\). 🏦

🧪 Experimenta: A Reta Orçamental

Arrasta \(W_1\), \(W_2\) e \(r\) e vê a reta e a dotação mudarem. 🖱️

W (valor presente) =

✅ Questões de Revisão (Parte 1)

Pergunta 1

A restrição orçamental intertemporal \(c_1 + \dfrac{c_2}{1+r} = W\) é estruturalmente igual a:

  1. \(p_1 x_1 + p_2 x_2 = W\), com \(p_1=1\), \(p_2 = 1/(1+r)\)
  2. \(U(x_1, x_2) = x_1^\alpha x_2^{1-\alpha}\)
  3. \(|\text{TMS}| = p_1/p_2\)
  4. \(Q^D = a - bP\)

✅ Pergunta 1 (Solução)

TipSolução

Resposta: a) A restrição intertemporal é a restrição orçamental estática do costume, com \(c_1, c_2\) no lugar de \(x_1, x_2\) e \(1/(1+r)\) como o “preço” do consumo futuro.

Pergunta 2

O ponto de dotação \(E = (W_1, W_2)\):

  1. Só está na reta orçamental se a Maria poupar
  2. Desaparece se o banco fechar
  3. Está sempre na reta orçamental, qualquer que seja \(r\)
  4. É sempre o ponto ótimo escolhido

Resposta: c) Consumir exatamente \((W_1, W_2)\) nunca exige poupar nem pedir emprestado, por isso é sempre uma opção acessível.

Pergunta 3 (Exercício)

A Mariana tem \(W_1 = 400\) euros e \(W_2 = 220\) euros. A taxa de juro é \(r = 10\%\).

a) Calcule a riqueza presente \(W\).

b) Qual o máximo que pode consumir em cada período?

c) Se a Mariana decide consumir \(c_1 = 300\) euros hoje, quanto poupa? E quanto consome amanhã?

✅ Pergunta 3 (Solução)

TipSolução

a) \(W = 400 + \dfrac{220}{1{,}10} = 400 + 200 = 600\) euros.

b) Máximo hoje: \(c_1^{\max} = 600\) euros. Máximo amanhã: \(c_2^{\max} = 600 \times 1{,}10 = 660\) euros.

c) Poupa \(S = 400 - 300 = 100\) euros. Amanhã: \(c_2 = 220 + 100 \times 1{,}10 = 330\) euros.

Parte 2: A Escolha Ótima ao Longo do Tempo 📈

🧠 A Utilidade Depende do Tempo

Se \(U(x_1, x_2)\) mede a satisfação de consumir dois bens, \(U(c_1, c_2)\) mede a satisfação de consumir num período ou noutro.

O método é o mesmo (curvas de indiferença, TMS, tangência). Só trocámos os rótulos: onde líamos “pizza e salada”, lemos agora “hoje e amanhã”. Falta escolher uma forma de \(U\) que leia bem o tempo. 🍕➡️⏳

🕰️ Uma Utilidade Feita Para o Tempo

Para bens no mesmo instante usámos a Cobb-Douglas. Para consumo em dois momentos há uma forma ainda mais natural: somar a satisfação de cada período, descontando o futuro.

NoteUtilidade intertemporal

\[U(c_1, c_2) = \ln c_1 + \beta \ln c_2, \qquad \beta > 0\]

\(\ln\) é a satisfação de consumir em cada período (com utilidade marginal decrescente, como sempre). \(\beta\) pesa o futuro em relação ao presente.

🔀 É Uma Cobb-Douglas Disfarçada

A utilidade é ordinal, e \(\exp\) é uma função crescente. Aplicando \(\exp\) à nossa \(U\):

\[e^{U} = e^{\ln c_1 + \beta \ln c_2} = c_1 \cdot c_2^{\beta}\]

É uma Cobb-Douglas com expoentes \(1\) e \(\beta\). Logo \(\ln c_1 + \beta \ln c_2\) representa exatamente as mesmas preferências que \(c_1^{1}\, c_2^{\beta}\). 🎯

Podemos reutilizar tudo o que já sabemos da Cobb-Douglas. A forma logarítmica só torna a leitura do tempo mais transparente.

⏳ O Que Significa \(\beta\)?

\(\beta\) é o fator de desconto: quanto vale, hoje, uma unidade de satisfação de amanhã.

  • \(\beta < 1\): impaciente. Damos menos peso ao futuro, 1 euro amanhã vale menos do que 1 euro hoje. É o caso normal: quase toda a gente prefere já.
  • \(\beta = 1\): indiferente entre hoje e amanhã.
  • \(\beta > 1\): paciente, valoriza mais o futuro (raro).

Por isso, tipicamente \(\beta \in (0, 1]\). 💡

📐 O Problema do Consumidor, Agora no Tempo

ImportantO Problema do Consumidor Intertemporal

\[\max_{c_1, c_2}\; \ln c_1 + \beta \ln c_2 \qquad \text{sujeito a} \quad c_1 + \frac{c_2}{1+r} = W\]

A restrição é a de sempre, com \(p_1 = 1\) e \(p_2 = 1/(1+r)\). Resolvemos como na aula anterior: pela tangência, a 2ª lei de Gossen. 🎯

🎯 Resolver com a 2ª Lei de Gossen

A TMS desta utilidade: como \(\text{UMg}_1 = \dfrac{1}{c_1}\) e \(\text{UMg}_2 = \dfrac{\beta}{c_2}\),

\[|\text{TMS}| = \frac{\text{UMg}_1}{\text{UMg}_2} = \frac{c_2}{\beta\, c_1}\]

A tangência iguala \(|\text{TMS}|\) ao declive da reta (em valor absoluto), \(p_1/p_2 = 1+r\):

\[\frac{c_2}{\beta\, c_1} = 1+r \quad\Longrightarrow\quad c_2 = \beta(1+r)\,c_1\]

🧮 Juntar à Restrição

Substituindo \(c_2 = \beta(1+r)\,c_1\) na restrição \(c_1 + \dfrac{c_2}{1+r} = W\):

\[c_1 + \underbrace{\frac{\beta(1+r)\,c_1}{1+r}}_{=\;\beta c_1} = W \quad\Longrightarrow\quad (1+\beta)\,c_1 = W\]

\[\boxed{c_1^{*} = \frac{W}{1+\beta}} \qquad \boxed{c_2^{*} = \frac{\beta(1+r)\,W}{1+\beta}}\]

✅ As Procuras Intertemporais

NoteConsumo ótimo em cada período

\[\boxed{c_1^{*} = \frac{W}{1+\beta}} \qquad \boxed{c_2^{*} = \frac{\beta(1+r)\,W}{1+\beta}}\]

onde \(W = W_1 + \dfrac{W_2}{1+r}\)

A fração da riqueza gasta hoje é \(\dfrac{1}{1+\beta}\): quanto mais impaciente (menor \(\beta\)), mais se consome no presente.

🔢 Exemplo Numérico

\(W_1 = 200\), \(W_2 = 330\), \(r = 10\%\), \(\beta = 0{,}25\) (bastante impaciente).

\[W = 200 + \frac{330}{1{,}10} = 200 + 300 = 500\]

\[c_1^{*} = \frac{500}{1{,}25} = 400 \qquad c_2^{*} = \frac{0{,}25 \times 1{,}10 \times 500}{1{,}25} = 110\]

\(c_1^{*} = 400 > W_1 = 200\): a Maria consome muito mais do que recebe hoje. É devedora, pede emprestado \(S = 200 - 400 = -200\) euros. 🏦

🥊 A Condição Escondida de Euler

Reescreve a tangência \(\dfrac{c_2}{\beta\, c_1} = 1+r\) isolando o crescimento do consumo:

\[\boxed{\dfrac{c_2}{c_1} = \beta\,(1+r)}\]

Duas forças em luta, impaciência (\(\beta\)) contra juro (\(1+r\)):

  • \(\beta(1+r) > 1\): o juro vence, \(c_2 > c_1\) (consumo cresce).
  • \(\beta(1+r) < 1\): a impaciência vence, \(c_2 < c_1\) (consumo desce).
  • \(\beta(1+r) = 1\): empate, \(c_1 = c_2\).

💰🏦 Poupadora ou Devedora? Depende de \(\beta\)

Comparamos \(c_1^{*} = \dfrac{W}{1+\beta}\) com \(W_1\).

  • Se \(\dfrac{W}{1+\beta} < W_1\): a Maria é poupadora.
  • Se \(\dfrac{W}{1+\beta} > W_1\): a Maria é devedora.

Quanto mais impaciente (menor \(\beta\)), maior \(c_1^{*}\), mais provável que peça emprestado para trazer consumo para o presente. Quanto mais paciente (maior \(\beta\)), mais provável que poupe. 💡

🧪 Experimenta: A Escolha Ótima

Arrasta os parâmetros. A curva de indiferença passa sempre pelo ponto ótimo. 🖱️

c₁* = c₂* =

🔄 O Que Acontece Quando \(r\) Sobe?

Uma subida de \(r\) é, ao mesmo tempo, uma mudança de preço relativo (o “preço” de \(c_2\), \(1/(1+r)\), desce) e uma mudança de riqueza.

Aqui aparece uma ideia nova: qualquer mudança de preço traz sempre dois efeitos ao mesmo tempo, um efeito substituição e um efeito rendimento. Vamos conhecê-los agora, com uma vantagem: neste problema o efeito rendimento é quase óbvio de ver. 👀

📌 A Reta Roda em Torno de \(E\)

Lembra: \(E = (W_1, W_2)\) está sempre na reta orçamental, seja qual for \(r\).

Logo, quando \(r\) sobe, a reta não se desloca livremente: ela roda em torno de \(E\), ficando mais inclinada (mais negativa).

Isto é diferente do problema estático: lá, quando \(p_1\) muda, a reta roda em torno de uma interceção abstrata (\(W/p_2\), uma quantidade que ninguém possui). Aqui, roda em torno de um ponto real: o que a Maria já tem. 🎯

🤑 Quem Ganha e Quem Perde

Se a reta roda em torno de \(E\) e fica mais inclinada, o que acontece aos dois lados de \(E\)?

À esquerda de \(E\) (onde estão os poupadores): a nova reta passa por cima da antiga. Todas as escolhas de antes continuam disponíveis, e aparecem escolhas novas e melhores.

À direita de \(E\) (onde estão os devedores): a nova reta passa por baixo da antiga. Algumas escolhas de antes deixam de estar disponíveis.

Sem calcular nada, só de olhar para o desenho: poupadores ganham, devedores perdem com uma subida de \(r\). 💡

✅ Confirmação Sem Cálculo: A Devedora do Exemplo

A Maria do exemplo (\(\beta=0{,}25\), \(W_1=200\), \(W_2=330\)) escolheu \((c_1^{*}, c_2^{*}) = (400, 110)\) a \(r=10\%\). É devedora.

Se \(r\) subir para \(20\%\), será que ainda pode pagar por \((400, 110)\)?

\[400 + \frac{110}{1{,}20} = 400 + 91{,}67 = 491{,}67\]

✅ A Devedora, Continuação

Mas a nova riqueza é só:

\[W = 200 + \frac{330}{1{,}20} = 475\]

Precisava de 491,67 mas só tem 475: já não pode pagar a mesma escolha. A devedora ficou pior. 📉

✅ Confirmação Sem Cálculo: Uma Poupadora

Agora um consumidor mais paciente, \(\beta = 1{,}5\), \(W_1 = 300\), \(W_2 = 220\). A \(r=10\%\): \(W=500\), \(c_1^{*}=200\), \(c_2^{*}=330\). É poupador (\(S=100\)).

Se \(r\) subir para \(20\%\), ainda pode pagar por \((200, 330)\)?

\[200 + \frac{330}{1{,}20} = 200 + 275 = 475\]

✅ A Poupadora, Continuação

A nova riqueza é:

\[W = 300 + \frac{220}{1{,}20} = 483{,}33\]

Precisava só de 475 e tem 483,33: sobra dinheiro. O poupador ficou melhor. 📈

⚖️ Dois Efeitos: Substituição e Rendimento

Efeito substituição: consumir hoje fica sempre mais “caro” em termos de oportunidade quando \(r\) sobe. Este efeito empurra sempre na mesma direção: \(c_1 \downarrow\), \(c_2 \uparrow\), para qualquer consumidor.

Efeito rendimento: depende de ser poupador ou devedor, como acabámos de ver. Poupador fica mais rico (\(c_1\) tende a subir). Devedor fica mais pobre (\(c_1\) tende a descer).

🗂️ Resumindo os Dois Efeitos

Efeito Substituição Efeito Rendimento Total em \(c_1\)
Poupador \(c_1 \downarrow\) \(c_1 \uparrow\) (mais rico) Ambíguo
Devedor \(c_1 \downarrow\) \(c_1 \downarrow\) (mais pobre) \(c_1 \downarrow\) claro

Para o devedor, os dois efeitos apontam para o mesmo lado: o resultado é certo. Para o poupador, competem: o resultado depende de qual domina, mas sabemos pelo menos que ele não fica pior. 🔍

✅ Questões de Revisão (Parte 2)

Pergunta 4

Com \(U = \ln c_1 + \beta \ln c_2\), \(\beta = 0{,}5\), \(W_1 = 100\), \(W_2 = 220\), \(r = 10\%\), qual é \(c_1^{*}\)?

  1. 150
  2. 250
  3. 300
  4. 200

✅ Pergunta 4 (Solução)

TipSolução

\(W = 100 + 220/1{,}10 = 100+200=300\). \(c_1^{*} = \dfrac{W}{1+\beta} = \dfrac{300}{1{,}5} = 200\). Resposta: d)

Pergunta 5

Um consumidor devedor vê a taxa de juro subir. O que é certo acontecer?

  1. \(c_1\) sobe, porque fica mais rico
  2. \(c_1\) desce, porque efeito substituição e efeito rendimento apontam para o mesmo lado
  3. \(c_1\) mantém-se, os efeitos cancelam-se
  4. Passa a ser poupador

Resposta: b) Para um devedor, a subida de \(r\) reduz \(c_1\) tanto pelo efeito substituição como pelo efeito rendimento (fica mais pobre).

Pergunta 6 (Exercício)

Um consumidor tem \(U = \ln c_1 + \beta \ln c_2\), \(\beta = 1{,}5\), \(W_1 = 300\), \(W_2 = 220\), \(r = 10\%\).

a) Calcule a riqueza presente \(W\).

b) Determine \((c_1^{*}, c_2^{*})\).

c) É poupador ou devedor? Quanto poupa ou pede emprestado?

✅ Pergunta 6 (Solução)

TipSolução

a) \(W = 300 + \dfrac{220}{1{,}10} = 300 + 200 = 500\) euros.

b) \(c_1^{*} = \dfrac{W}{1+\beta} = \dfrac{500}{2{,}5} = 200\). \(c_2^{*} = \dfrac{1{,}5 \times 1{,}10 \times 500}{2{,}5} = 330\).

c) \(c_1^{*} = 200 < W_1 = 300\): é poupador, poupa \(S = 300 - 200 = 100\) euros hoje.

❓ E a Seguir?

Hoje aplicámos exatamente o mesmo método (a Cobb-Douglas e a tangência da 2ª lei de Gossen) a um problema novo: distribuir consumo ao longo do tempo em vez de entre bens.

Esta ferramenta reaparece sempre que se fala em poupança, crédito, ou avaliação de investimentos: o valor presente \(W\) é a mesma ideia que sustenta o cálculo de obrigações e de VAL em finanças. 💶

🏭 Na Próxima Aula

Deixamos o consumidor e passamos para o outro lado do mercado, o produtor: como se decide quanto produzir, a partir da estrutura de custos.