Mas não nos diz o que o consumidor prefere. Para isso, precisamos de modelar as suas preferências.

Questão central: de entre todos os cabazes acessíveis, qual é o melhor?

• \(A \succ B\): o cabaz \(A\) é estritamente preferido a \(B\)
• \(A \sim B\): o consumidor é indiferente entre \(A\) e \(B\)
• \(A \succsim B\): o consumidor prefere \(A\) a \(B\), ou é indiferente (pelo menos tão bom)

1. Completude: dados dois cabazes quaisquer \(A\) e \(B\), o consumidor consegue sempre compará-los. Ou \(A \succ B\), ou \(B \succ A\), ou \(A \sim B\).

2. Transitividade: se \(A \succ B\) e \(B \succ C\), então \(A \succ C\).

3. Não saciedade (Monotonicidade): mais é melhor. Se o cabaz \(A\) tem pelo menos a mesma quantidade de ambos os bens que \(B\), e mais de pelo menos um, então \(A \succ B\).

Preferências completas e transitivas dizem-se racionais.

Racionalidade não é “fazer sempre a escolha certa”: é conseguir comparar quaisquer alternativas (completude) sem cair em contradições (transitividade).

O terceiro axioma já não é racionalidade: é uma hipótese sobre o que o consumidor deseja. Preferências racionais e monótonas dizem-se bem comportadas: são as que vamos usar.

Pela não saciedade, esse cabaz é sempre melhor que \(A\). 🤔 E um com menos dos dois?

Sempre pior. Mas e um cabaz com mais de um bem e menos do outro? A não saciedade, sozinha, não consegue dizer.

1. A partir de \(A\), dá mais x₁ ao consumidor (mesmo x₂). Pela não saciedade, ele fica melhor.

2. Agora tira-lhe x₂, aos poucos, até ele voltar a ficar indiferente a \(A\).

Esse ponto final, mais x₁ e menos x₂, mas igualmente bom que \(A\): já está na curva de indiferença. 💡

Escolhe um ponto \(B\) qualquer na curva. Por construção, \(B \sim A\).

Aplica a não saciedade em \(B\): a caixa acima e à direita de \(B\) é melhor que \(B\). E melhor que \(B\) é melhor que \(A\), porque \(B \sim A\): transitividade. 💡

Repete com mais pontos da curva. As caixas vão cobrindo o mapa todo: acima da curva é sempre melhor, abaixo é sempre pior.

Suponha que duas curvas \(U_1\) e \(U_2\) se cruzam num ponto \(C\).

• Seja \(A\) um ponto só em \(U_1\) e \(D\) um ponto só em \(U_2\), ambos com a mesma quantidade de \(x_1\), mas \(D\) com mais \(x_2\).
• Pela não saciedade: \(D \succ A\)

• Como \(D\) e \(C\) estão ambos em \(U_2\): \(D \sim C\)
• Como \(C\) e \(A\) estão ambos em \(U_1\): \(C \sim A\)
• Pela transitividade: \(D \sim C \sim A\), ou seja, \(D \sim A\)

Contradição! 🚫 Tínhamos \(D \succ A\), mas também \(D \sim A\). Logo, as curvas não se podem cruzar.

Intuição: a variedade é preferida. Um cabaz equilibrado (com quantidades moderadas de ambos os bens) é preferido a um cabaz extremo (muito de um, quase nada do outro).

Exemplo: entre ter 10 pizzas e 0 saladas, ou 5 pizzas e 5 saladas, a maioria dos consumidores prefere o cabaz equilibrado, mesmo que ambos estejam na mesma curva de indiferença de um modelo sem convexidade.

Resposta: d) Se as curvas se cruzassem, existiriam cabazes simultaneamente indiferentes e estritamente preferidos, violando a transitividade.

\[\text{TMS} = \frac{dx_2}{dx_1}\bigg|_{\text{na curva}} \; < 0\]

Trabalhamos muitas vezes com o seu valor absoluto, \(|\text{TMS}|\): a quantidade de \(x_2\) cedida por uma unidade de \(x_1\). É esta forma que vai entrar na condição de tangência. 🎯

A reta tangente (a vermelho) toca a curva só no ponto \(A\). O seu declive é a TMS nesse ponto (negativo); em valor absoluto, é \(|\text{TMS}|\).

À medida que avanças para a direita na curva (mais \(x_1\), menos \(x_2\)), a curva vai ficando mais horizontal: o declive, em valor absoluto, diminui.

Intuição: se já tens muita pizza e pouca salada, estás disposto a ceder cada vez menos salada por mais uma fatia de pizza. 🍕

Resposta: b)

Resposta: c) É exatamente o significado de \(|\text{TMS}|\) decrescente: a curva fica mais horizontal à medida que \(x_1\) aumenta.

Mas desenhar não é prático para calcular. Precisamos de uma forma de comparar cabazes sem desenhar.

Pergunta: dados dois cabazes, \(A = (3, 8)\) e \(B = (6, 4)\), como sabes qual dá mais satisfação, sem desenhar curvas de indiferença?

Com isto, comparar cabazes deixa de exigir um desenho: basta calcular \(U(A)\) e \(U(B)\) e comparar os números.

\[A \succ B \quad \Longleftrightarrow \quad U(A) > U(B)\]

\[A \sim B \quad \Longleftrightarrow \quad U(A) = U(B)\]

\[A \succsim B \quad \Longleftrightarrow \quad U(A) \geq U(B)\]

É só isto: \(U\) traduz a ordem de preferência para uma ordem de números. Nada mais.

A um certo restaurante deu 4/5 no primeiro site e 9,5/10 no segundo. As duas avaliações contradizem-se?

Não necessariamente: a segunda escala pode ser mais generosa com os números. As duas avaliações dizem o mesmo desde que preservem a ordem: sempre que um restaurante é melhor do que outro, tem mais estrelas no primeiro site e mais pontos no segundo. 💡

Significa apenas que \(A \succ B\): o número em si não tem significado, só a ordem que ele induz entre os cabazes.

Por isso qualquer transformação que preserve a ordem (ex.: multiplicar por 2, elevar ao quadrado) representa as mesmas preferências: mudar de escala não muda qual restaurante é melhor.

Por trás, esse slider estava a escolher a constante da curva \(x_1 \cdot x_2 = c\). O número esteve lá sempre: só agora lhe podemos chamar utilidade.

\(U(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2\) é um exemplo concreto de função de utilidade: gera curvas convexas, sem cruzamentos, mais afastadas da origem quanto maior \(U\).

Repara: não é arbitrária. É exatamente o que os três axiomas exigiam, uma forma de representar as preferências que já tínhamos. 💡

Usando \(U(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2\):

\[U(10, 0) = 10 \times 0 = 0\] \[U(5, 5) = 5 \times 5 = 25\]

Como \(25 > 0\), o cabaz equilibrado \((5,5)\) está numa curva de indiferença mais afastada da origem, e é preferido. Confirma numericamente a intuição que já tínhamos sobre convexidade e variedade.

\[\text{UMg}_1 = \frac{\partial U}{\partial x_1} = x_2, \qquad \text{UMg}_2 = \frac{\partial U}{\partial x_2} = x_1\]

\[|\text{TMS}| = \frac{\text{UMg}_1}{\text{UMg}_2} = \frac{x_2}{x_1}\]

No cabaz \((6,6)\) que usámos para construir a curva no início da aula: \(|\text{TMS}| = 6/6 = 1\). Já não precisas de desenhar tangentes: é só substituir. 💡

Resposta: b) A utilidade é ordinal: o número só importa para ordenar, não para medir “quanto”.

Isso ainda não respondemos, e não vamos resolver hoje o problema do consumidor.

Na próxima aula: escolhemos uma forma específica (Cobb-Douglas) e juntamos \(U(x_1,x_2)\) com a restrição orçamental para encontrar a escolha ótima. 🎯