🗺️ Tópicos de Hoje

  • Da procura individual à curva de procura
  • Propriedades: lei da procura, deslocações, procura inversa
  • Preço de reserva e o modelo linear
  • Da procura individual à procura de mercado (soma horizontal)
  • Excedente do consumidor
  • Elasticidade preço da procura
  • Elasticidade e despesa/receita

Parte 1: Da Procura Individual à Procura de Mercado 📊

🔁 Onde Ficámos

Na aula passada resolvemos o problema do consumidor e obtivemos a procura Marshalliana: a quantidade ótima em função dos preços e do rendimento.

Para a Cobb-Douglas:

\[x_1^{*}(p_1, p_2, W) = \frac{\alpha\, W}{p_1}\]

Hoje deixamos de olhar para \(x_1^{*}\) como um número e passamos a olhar para ela como uma curva. 📈

🎯 De Uma Fórmula a Uma Curva

Fixemos o rendimento \(W\) e o preço do outro bem \(p_2\), e deixemos variar só o preço do bem, \(p_1 \equiv P\).

O que sobra é uma relação entre preço e quantidade procurada:

\[Q^{D} = Q^{D}(P)\]

A isto chamamos a curva de procura: para cada preço, a quantidade que o consumidor escolhe comprar, mantendo tudo o resto constante (rendimento, outros preços, preferências).

📉 A Lei da Procura

Vimos que, para a Cobb-Douglas:

\[\frac{\partial x_1^{*}}{\partial p_1} = -\frac{\alpha W}{p_1^2} < 0\]

Lei da Procura

Quando o preço de um bem sobe, a quantidade procurada desce, mantendo tudo o resto constante.

A curva de procura tem inclinação negativa. É a regularidade mais robusta de toda a microeconomia. 💪

🖼️ A Convenção de Marshall

Desenhamos sempre a procura no plano \((Q, P)\), com o preço no eixo vertical, mesmo escrevendo \(Q\) como função de \(P\).

É uma convenção histórica (Marshall, 1890), mas está tão enraizada que a seguimos sempre.

↔︎️ Mover-se ao Longo vs Deslocar

Duas coisas muito diferentes:

Mover-se ao longo da curva: só o próprio preço muda. É a resposta que a curva já descreve.

Deslocar a curva inteira: muda algo que estava “constante”, logo a curva muda de posição.

↔︎️ O Que Desloca a Procura

A curva desloca-se para fora (mais procura a cada preço) quando:

  • o rendimento sobe (bem normal)
  • sobe o preço de um substituto
  • desce o preço de um complemento
  • as preferências mudam a favor do bem

E para dentro nas situações simétricas. Um bem inferior desloca-se para dentro quando o rendimento sobe.

🔄 A Procura Inversa

Muitas vezes é útil perguntar o contrário: para uma dada quantidade, qual é o preço?

Basta resolver \(Q^{D}(P)\) em ordem a \(P\). Obtemos a procura inversa \(P(Q)\).

Graficamente é a mesma curva: só trocamos a pergunta de “quanto se compra a este preço?” para “que preço sustenta esta quantidade?”.

💶 Preço de Reserva

Preço de reserva

O preço de reserva de uma unidade é o máximo que o consumidor está disposto a pagar por ela. É, por definição, o valor que essa unidade tem para ele.

O preço de reserva não é um conceito novo: é exatamente a DAP da aula 1, o valor máximo que está disposto a pagar. Já lá lhe tínhamos chamado preço de reserva; daqui em diante é o nome que vamos usar. 💡

📉 O Preço de Reserva Desce

Da utilidade marginal decrescente (1ª lei de Gossen): cada unidade extra vale menos que a anterior, logo o preço de reserva desce à medida que a quantidade sobe.

Por isso a curva de procura inversa é a curva dos preços de reserva. Ler a procura de cima para baixo é ler “quanto valor dou eu à próxima unidade”. 💡

📐 Um Modelo Simples: Procura Linear

Na prática usamos muito a forma linear, uma boa aproximação local:

\[Q^{D} = a - b\,P \qquad (a > 0,\; b > 0)\]

  • \(a\): quantidade procurada a preço zero (interceção horizontal)
  • \(b\): sensibilidade ao preço (cada euro a mais reduz \(Q^{D}\) em \(b\) unidades)

📐 Forma Direta e Forma Inversa

Resolvendo \(Q = a - bP\) em ordem a \(P\):

\[P = \frac{a}{b} - \frac{1}{b}\,Q\]

\(\frac{a}{b}\) é o preço de reserva máximo (choke price): acima dele, o consumidor não compra.

🧑‍🤝‍🧑 Do Indivíduo ao Mercado

Duas pessoas querem o mesmo bem. Ao preço \(P = 2\):

  • Ana quer 4 unidades
  • Bruno quer 4 unidades

🤔 Quanto quer o mercado a \(P = 2\)?

A resposta natural é 8: simplesmente somamos as quantidades de cada um. E está correto!

➕ Soma Horizontal

A cada preço, a procura de mercado é a soma das quantidades que cada consumidor procura a esse preço:

\[Q^{M}(P) = \sum_{i=1}^{n} Q_i^{D}(P)\]

Somamos quantidades (na horizontal), não preços (na vertical). Por isso se chama soma horizontal.

A procura de mercado herda a inclinação negativa e todas as propriedades das procuras individuais.

🎚️ Experimente: Construir a Procura de Mercado

Duas procuras: \(Q_1 = 8 - 2P\) e \(Q_2 = 6 - P\). Arraste o preço e veja a soma horizontal. 🖱️

Procuras individuais
Mercado = soma horizontal
Q1 = Q2 = Qmercado = Q1 + Q2 =

📐 A Procura de Mercado é “Quebrada”

No exemplo, \(Q_1 = 8 - 2P\) (só compra abaixo de \(P = 4\)) e \(Q_2 = 6 - P\) (abaixo de \(P = 6\)).

  • Para \(4 < P \leq 6\): só o consumidor 2 compra, \(Q^{M} = 6 - P\)
  • Para \(P \leq 4\): ambos compram, \(Q^{M} = 14 - 3P\)

No preço em que um consumidor entra (aqui \(P = 4\)), a curva ganha um cotovelo e fica mais deitada: mais um consumidor a reagir ao preço. 📐

🔢 Exemplo: Somar Duas Procuras

\(Q_1 = 8 - 2P\) e \(Q_2 = 6 - P\). A procura de mercado, para \(P \leq 4\):

\[Q^{M} = (8 - 2P) + (6 - P) = 14 - 3P\]

A \(P = 2\): \(\; Q_1 = 4,\; Q_2 = 4,\; Q^{M} = 8\). ✓

A \(P = 5\) (só o consumidor 2): \(\; Q_1 = 0,\; Q_2 = 1,\; Q^{M} = 1\).

🤔 Quanto Vale Ter Comprado?

Paga o preço de mercado por cada unidade. Mas as primeiras unidades valem para si muito mais do que isso (preço de reserva alto).

Comprou algo que vale 8€ para si, e pagou 5€. Ganhou 3€ de “valor líquido”.

Somando esse ganho sobre todas as unidades compradas, obtemos o excedente do consumidor. 💰

💰 Excedente do Consumidor

Excedente do consumidor (EC)

Por unidade, é a diferença entre o preço de reserva (o que vale para o consumidor) e o preço efetivamente pago.

O EC total é a área abaixo da curva de procura e acima do preço de mercado.

É a medida monetária do benefício líquido que o consumidor retira de participar no mercado.

🔺 O Triângulo do Excedente

Arraste o preço e repara como o triângulo muda de forma. 🖱️

Q* = EC =

Baixa o preço: o triângulo fica mais alto (cada unidade vale mais em excedente) e mais largo (compensa comprar mais unidades). As duas coisas ampliam o excedente ao mesmo tempo. 📈

🧮 Calcular o Excedente

Para a procura inversa \(P = \frac{a}{b} - \frac{1}{b}Q\), ao preço de mercado \(p\):

\[\text{EC} = \frac{1}{2} \times Q^{*} \times \left(\frac{a}{b} - p\right)\]

Exemplo: \(P = 10 - 2Q\), preço de mercado \(p = 4\).

\[Q^{*} = \frac{10 - 4}{2} = 3 \qquad \text{EC} = \frac{1}{2} \times 3 \times (10 - 4) = 9\]

📉 Quando o Preço Desce

Quando o preço desce de \(p_0\) para \(p_1\), o excedente aumenta: ganhamos nas unidades que já comprávamos e nas novas. ✅

✅ Questões de Revisão (Parte 1)

Pergunta 1

A procura de mercado é \(Q^{D} = 80 - 4P\). O preço de reserva máximo (choke price) é:

  1. 20
  2. 4
  3. 80
  4. 40

Resposta: a) O choke price é \(a/b = 80/4 = 20\).

Pergunta 2

Dois consumidores: \(Q_1 = 8 - 2P\) e \(Q_2 = 6 - P\). Para \(P \leq 4\), a procura de mercado é:

  1. \(Q^{M} = 14 - 2P\)
  2. \(Q^{M} = 14 - 3P\)
  3. \(Q^{M} = 14 - P\)
  4. \(Q^{M} = 2 - 3P\)

Resposta: b) Soma horizontal: \((8 - 2P) + (6 - P) = 14 - 3P\).

Pergunta 3 (Exercício)

A procura de mercado de um bem é \(Q^{D} = 200 - 5P\).

a) Escreva a procura inversa.

b) Para \(P = 20\), calcule a quantidade e o excedente do consumidor.

c) O preço desce para \(P = 10\). Qual o novo EC e o ganho para os consumidores?

✅ Pergunta 3 (Solução)

Solução

a) \(P = 40 - \frac{1}{5}Q\); choke price = 40.

b) \(Q = 200 - 100 = 100\); \(\; \text{EC} = \frac{1}{2} \times 100 \times (40 - 20) = 1000\).

c) \(Q = 200 - 50 = 150\); \(\; \text{EC} = \frac{1}{2} \times 150 \times (40 - 10) = 2250\).

Ganho: \(2250 - 1000 = \mathbf{1250}\).

Parte 2: Elasticidade da Procura 📏

🤔 Quão Sensível é a Procura?

Sabemos que a procura desce quando o preço sobe. Mas quanto?

Primeira ideia: usar o declive \(\frac{dQ}{dP}\). Se é \(-2\), cada euro tira 2 unidades.

🤔 Será que o declive é uma boa medida de sensibilidade?

⚖️ Um Problema Mais Fundo: A Base Importa

A procura de sal sobe de 1 para 2 kg (+1 kg). A procura de arroz sobe de 100 para 101 kg (também +1 kg).

Em unidades absolutas, as duas variações são “iguais”: +1 kg. Mas sentimos que a primeira é uma mudança enorme, e a segunda quase não se nota.

Duplicar a procura de sal (\(+100\%\)) não é a mesma coisa que aumentar a procura de arroz em \(1\%\) (\(101/100\)). O declive, em unidades absolutas, não distingue isto. 👎

⚠️ E Ainda Há o Problema das Unidades

A mesma procura, medida em litros: \(\frac{dQ}{dP} = -2\).

Agora medida em decilitros (a mesma coisa, \(\times 10\)): \(\frac{dQ}{dP} = -20\).

O comportamento é idêntico, mas o declive ficou 10 vezes maior. O declive depende das unidades: não serve como medida universal de sensibilidade. 👎

💡 A Ideia: Trabalhar em Percentagens

Se em vez de “quantas unidades por euro” perguntarmos “quantos % de quantidade por % de preço”, resolvemos os dois problemas de uma vez.

\[\frac{\%\,\Delta Q}{\%\,\Delta P} = \frac{\Delta Q / Q}{\Delta P / P}\]

As unidades cancelam-se (litros ou decilitros dão a mesma percentagem), e a percentagem já divide pela base, captando a importância relativa da mudança: \(+1\) kg pesa muito mais em \(1\) kg do que em \(100\) kg. Medida adimensional: comparável entre bens e entre países. 💡

📏 Elasticidade Preço da Procura

Elasticidade preço da procura

\[\varepsilon_D = \frac{\%\,\Delta Q_D}{\%\,\Delta P} = \frac{dQ_D}{dP} \cdot \frac{P}{Q_D}\]

Lê-se: se o preço sobe 1%, a quantidade procurada varia \(\varepsilon_D\) por cento.

➖ Porque é Negativa

Pela lei da procura, \(\frac{dQ_D}{dP} < 0\), logo \(\varepsilon_D < 0\) (quase sempre).

Por comodidade, classificamos usando o valor absoluto \(|\varepsilon_D|\): quanto maior, mais sensível a procura.

🗂️ Classificar a Elasticidade

\(\lvert\varepsilon_D\rvert\) Classificação Significado
\(> 1\) Elástica \(\%\Delta Q > \%\Delta P\); muito sensível
\(= 1\) Unitária \(\%\Delta Q = \%\Delta P\)
\(< 1\) Inelástica \(\%\Delta Q < \%\Delta P\); pouco sensível

Bens de luxo com muitos substitutos tendem a ser elásticos; bens essenciais sem substitutos, inelásticos.

🧊 Casos Extremos

\(|\varepsilon| = 0\): a quantidade não reage (ex.: medicamento vital). \(|\varepsilon| \to \infty\): qualquer subida de preço leva a procura a zero (substituto perfeito).

📉 Elasticidade ao Longo da Procura Linear

Para \(Q_D = a - bP\), temos \(\frac{dQ_D}{dP} = -b\), logo:

\[\varepsilon_D = -b \cdot \frac{P}{Q_D}\]

Important

O declive \(b\) é constante, mas a razão \(P/Q_D\) muda ao longo da curva. Por isso a elasticidade não é constante numa procura linear.

🖼️ Elástica em Cima, Inelástica em Baixo

🎯 O Ponto Médio

Elasticidade unitária: \(\left| -b \cdot \frac{P}{a - bP} \right| = 1\).

\[bP = a - bP \;\Rightarrow\; 2bP = a \;\Rightarrow\; P^{*} = \frac{a}{2b}, \quad Q^{*} = \frac{a}{2}\]

O ponto de elasticidade unitária está sempre a meio da reta de procura. 🎯

🔢 Exemplo: \(Q_D = 100 - 2P\)

\(\varepsilon_D = -2 \cdot \frac{P}{Q_D}\), em três pontos:

\(P\) \(Q_D\) \(\varepsilon_D\) Classificação
40 20 \(-2 \cdot \frac{40}{20} = -4\) Elástica
25 50 \(-2 \cdot \frac{25}{50} = -1\) Unitária
10 80 \(-2 \cdot \frac{10}{80} = -0{,}25\) Inelástica

O ponto de elasticidade unitária (\(P = 25\), \(Q = 50\)) é exatamente o ponto médio (\(a/2b = 100/4 = 25\)).

🧭 O Que Determina a Elasticidade

  • Substitutos: mais substitutos, mais elástica (leite vs leite da marca X).
  • Especificidade: quanto mais específico o bem, mais elástica (“comida” vs “pizza margherita da esquina”).
  • Peso no orçamento: bens que pesam mais no orçamento tendem a ser mais elásticos.
  • Tempo: no longo prazo há mais tempo para encontrar alternativas, logo mais elástica.

💶 Elasticidade e Despesa/Receita

A despesa dos consumidores é a receita do produtor: \(R = P \cdot Q_D\). Do nosso lado (consumidor), é o gasto total.

Pergunta central: se o preço desce, o gasto total sobe ou desce?

Depende de qual efeito domina: paga menos por cada unidade (reduz o gasto) mas agora compensa comprar mais unidades (aumenta o gasto).

⚖️ A Regra

\[\Delta R \approx \underbrace{Q_0 \cdot \Delta P}_{\text{efeito preço}} + \underbrace{P_0 \cdot \Delta Q}_{\text{efeito quantidade}}\]

Zona Se \(P\) desce Gasto (= Receita)
Elástica \(\lvert\varepsilon\rvert>1\) \(Q\) sobe muito aumenta
Unitária \(\lvert\varepsilon\rvert=1\) efeitos anulam-se máxima
Inelástica \(\lvert\varepsilon\rvert<1\) \(Q\) sobe pouco diminui

🥊 Experimente: Os Dois Efeitos em Luta

Arraste o preço e veja os dois efeitos da tabela anterior, em tamanho real. 🖱️

Efeito preço = Efeito quantidade = Δ Gasto =

Vermelho = efeito preço, verde = efeito quantidade. Quem ganha troca com a direção do preço: o gasto só sobe se o verde vencer o vermelho. 🔍

🖼️ A Receita ao Longo da Procura

🔢 Exemplo: Receita com \(Q_D = 100 - 2P\)

\[R = P(100 - 2P) = 100P - 2P^{2}\]

\[\frac{dR}{dP} = 100 - 4P = 0 \;\Rightarrow\; P^{*} = 25, \quad R^{*} = 25 \times 50 = 1250\]

\(P^{*} = 25\) é o ponto de elasticidade unitária. Confirmação: \(P = 20 \Rightarrow R = 1200\); \(P = 30 \Rightarrow R = 1200\). Ambos \(< 1250\). ✅

✅ Questões de Revisão (Parte 2)

Pergunta 4

A procura é \(Q_D = 200 - 5P\). Quando \(P = 20\), a elasticidade preço é:

  1. \(-0{,}5\) (inelástica)
  2. \(-2\) (elástica)
  3. \(-1\) (unitária)
  4. \(-5\)

Resposta: c) \(Q_D = 200 - 100 = 100\); \(\varepsilon_D = -5 \cdot \frac{20}{100} = -1\).

Pergunta 5

Se a procura é inelástica (\(|\varepsilon_D| < 1\)), uma redução do preço provoca:

  1. Aumento da receita total
  2. Receita inalterada
  3. Duplicação da quantidade
  4. Diminuição da receita total

Resposta: d) Na zona inelástica, o ganho de quantidade não compensa a perda de preço.

Pergunta 6 (Exercício)

A procura de mercado é \(Q_D = 150 - 3P\).

a) Calcule \(\varepsilon_D\) em \(P = 10\) e em \(P = 40\); classifique.

b) Determine o preço que maximiza a receita.

c) Calcule a receita máxima.

✅ Pergunta 6 (Solução)

Solução

a) \(P = 10\): \(Q = 120\), \(\varepsilon_D = -3 \cdot \frac{10}{120} = -0{,}25\) (inelástica). \(P = 40\): \(Q = 30\), \(\varepsilon_D = -3 \cdot \frac{40}{30} = -4\) (elástica).

b) \(R = P(150 - 3P) = 150P - 3P^{2}\); \(\frac{dR}{dP} = 150 - 6P = 0 \Rightarrow P^{*} = 25\).

c) \(Q^{*} = 150 - 75 = 75\); \(R^{*} = 25 \times 75 = \mathbf{1875}\).

❓ E a Seguir?

Hoje olhámos só para o lado da procura: o que os consumidores querem a cada preço.

Falta o outro lado: a oferta. De onde vêm os custos das empresas, e como decidem quanto produzir?

Nas próximas aulas: produção, custos e maximização do lucro. Juntando procura e oferta, chegamos ao equilíbrio de mercado. 🎯