Restrição Orçamental e Curvas de Indiferença

Onde Estamos no Modelo 🗺️

  • Neste capítulo começamos pela Restrição Orçamental e pelas Preferências

Cabaz e Espaço de Consumo 🛒

Cabaz de Bens

Definição: Cabaz de Bens

É composto por quantidades de vários bens. Quando se comparam cabazes, os bens são os mesmos, mas as quantidades de cada um variam.

Exemplo: Dois bens — bolachas de chocolate (\(x\)) e laranjas (\(y\)).

  • O cabaz \((3, 2)\) é composto por 3 bolachas e 2 laranjas.
  • Graficamente, é um ponto do espaço \((x, y)\).

Cabaz no Espaço de Consumo

Conjunto das Possibilidades de Consumo

  • É o conjunto de todos os cabazes que podem ser adquiridos com um dado orçamento.
  • O conjunto de cabazes cuja despesa esgota o orçamento designa-se Restrição Orçamental.

Restrição Orçamental 📊

O Problema do Consumidor

De entre os cabazes disponíveis, encontrar a escolha ótima, dadas as variáveis exógenas:

  • Orçamento (\(W\))
  • Preços de mercado (\(p_x\), \(p_y\))

O consumidor decide as variáveis endógenas: \(X\) e \(Y\).

Restrição Orçamental — Formulação

\[X p_x + Y p_y = W\]

Exemplo: €10 para gastar em bolachas e laranjas.

  • Cada bolacha custa €0.25 → \(p_x = 0.25\)
  • Cada laranja custa €0.10 → \(p_y = 0.10\)

\[0.25\, X + 0.10\, Y = 10\]

Restrição Orçamental — Gráfico

  • Também se escreve como \(Y = 100 - 2.5X\)

Declive da Restrição Orçamental

\[X p_x + Y p_y = W \quad\Leftrightarrow\quad Y = {\color{red}{\frac{W}{p_y}}} - {\color{blue}{\frac{p_x}{p_y}}} X\]

  • \(\color{red}{\dfrac{W}{p_y}}\): ordenada na origem — máximo de \(Y\) se \(X=0\)
  • \(\color{blue}{-\dfrac{p_x}{p_y}}\): declive — preço relativo de \(X\) em termos de \(Y\)

No exemplo: \(Y = {\color{red}{100}} - {\color{blue}{2.5}}\, X\)

Efeito de Mudança de Preço

  • Mudança de \(p_x\) → roda em torno do intercepto em \(Y\)
  • Mudança de \(p_y\) → roda em torno do intercepto em \(X\)

Efeito de Mudança de Orçamento

  • Alteração em \(W\) → translação paralela — o declive \(-p_x/p_y\) não muda

Preferências e Racionalidade 🧠

O Problema da Escolha

O espaço de consumo diz-nos o que é possível comprar.

Mas não nos diz o que o consumidor prefere — precisamos das suas preferências.

Questão central: De entre todos os cabazes acessíveis, qual é o melhor?

Axioma 1 — Desejabilidade

Axioma 1: Desejabilidade (Não Saciedade)

Consumir mais é melhor.

Se \(A = (25, 30)\) contém mais de ambos os bens do que \(B = (20, 20)\), então \(A \succ B\).

Desejabilidade — Gráfico

  • E se um cabaz tiver mais de um bem e menos do outro?

Curva de Indiferença

Definição: Curva de Indiferença

Conjunto de todos os cabazes indiferentes entre si.

  • Devido à desejabilidade, cabazes indiferentes têm sempre mais de um bem e menos do outro.
  • No espaço \(XY\), a curva de indiferença tem inclinação negativa.

Curva de Indiferença — Gráfico

\(A\), \(B\) e \(C\) são cabazes indiferentes — pertencem à mesma curva \(U_1\).

Mapa de Indiferenças

Axioma 2 — Completude

Axioma 2: Preferências Completas

Dados dois cabazes, o consumidor sabe sempre dizer qual a relação de preferências entre eles. Todos os cabazes pertencem a uma curva de indiferença.

  • Quanto mais alta a curva onde se localiza um cabaz, maior a satisfação.

Axioma 3 — Transitividade

Axioma 3: Preferências Transitivas

Se \(A\) é preferido a \(B\), e \(B\) é preferido a \(C\), então \(A\) é preferido a \(C\).

Consequência direta: as curvas de indiferença não se podem cruzar!

Curvas de Indiferença Não se Cruzam · Restrição Orçamental (1)

Curvas de Indiferença Não se Cruzam · Restrição Orçamental (2)

A lógica do gráfico:

  • \(C=(1,2)\) é a interseção, um ponto nas duas curvas
  • \(A=(2,1)\) está só em \(U_1\); \(D=(2,1.2)\) está só em \(U_2\) — o mesmo \(X\), mas \(D\) tem mais \(Y\)
  • A seta “\(D \succ A\)” evidencia esta relação
  • A contradição é evidente: As CI cruzam-se!

Racionalidade do Consumidor

Preferências Racionais

Em contexto de desejabilidade, as preferências são racionais se forem completas e transitivas.

Outras hipóteses da Teoria do Consumidor:

  • Informação completa sobre preços e características dos bens
  • Continuidade do espaço orçamental
  • Independência das escolhas entre consumidores

Exercícios ✏️ · Restrição Orçamental

Exercício 1 (Escolha Múltipla) · Restrição Orçamental

O orçamento de um consumidor é \(W = 60\)€, \(p_x = 3\)€ e \(p_y = 4\)€. Qual é a equação da restrição orçamental na forma \(Y = f(X)\)?

(A) \(Y = 20 - \dfrac{4}{3} X\) \(\qquad\) (B) \(Y = 15 - \dfrac{3}{4} X\)

(C) \(Y = 15 - \dfrac{4}{3} X\) \(\qquad\) (D) \(Y = 20 - \dfrac{3}{4} X\)

Resposta: (B)

\(Y = \dfrac{60}{4} - \dfrac{3}{4} X = 15 - 0.75\, X\)

Exercício 2 (Escolha Múltipla) · Restrição Orçamental

Com preferências racionais e desejabilidade, qual afirmação é verdadeira?

(A) Dois cabazes são indiferentes mesmo que um tenha mais de ambos os bens.

(B) As curvas de indiferença têm inclinação positiva.

(C) Curvas mais afastadas da origem representam maior satisfação.

(D) As curvas de indiferença podem cruzar-se se as preferências forem transitivas.

Resposta: (C)

Pela desejabilidade, cabazes com mais quantidade são preferidos — curvas mais afastadas da origem correspondem a maior satisfação.

Exercício 3 (Desenvolvimento) · Restrição Orçamental

Um consumidor dispõe de €120 para gastar em \(X\) (€4/un.) e \(Y\) (€6/un.).

a) Equação da restrição orçamental na forma \(Y = f(X)\). Identifique declive e ordenada na origem.

b) O preço de \(X\) sobe para €6. O que acontece graficamente?

c) O consumidor recebe um subsídio de €60 (lump-sum). Efeito sobre a restrição?

Solução

a) \(4X + 6Y = 120 \Rightarrow Y = 20 - \tfrac{2}{3}X\). Declive: \(-\tfrac{2}{3}\); Ordenada na origem: \(20\).

b) Com \(p_x = 6\): \(Y = 20 - X\). O intercepto em \(Y\) mantém-se em \(20\); o intercepto em \(X\) passa de \(30\) para \(20\). A RO roda para dentro em torno de \((0,\,20)\).

c) Com \(W = 180\): \(Y = 30 - \tfrac{2}{3}X\). Translação paralela para fora — o declive não muda.

Utilidade, Gossen e o Problema do Consumidor

Recapitulação 🔄 · Utilidade e Gossen

Na secção anterior:

  • Cabaz de bens e espaço de consumo
  • Restrição Orçamental: \(Xp_x + Yp_y = W\)
  • Preferências: desejabilidade, completude, transitividade
  • Curvas de indiferença: inclinação negativa, não se cruzam

Nesta secção: função de utilidade, otimização e procura individual

Taxa Marginal de Substituição (TMS) 🔁

TMS — Definição

Taxa Marginal de Substituição

É a taxa à qual o consumidor está disposto a trocar um bem pelo outro ficando indiferente. Define-se como a quantidade de \(Y\) de que está disposto a prescindir para ter mais uma unidade de \(X\), mantendo a utilidade constante: \[TMS = \frac{\Delta Y}{\Delta X}\bigg|_{\Delta U = 0}\]

Ao longo da curva de indiferença convexa, \(|TMS|\) é decrescente — valorizamos mais o bem que temos em menor quantidade.

TMS — Gráfico

Função de Utilidade 📈

Função de Utilidade — Definição

Função de Utilidade

Representação numérica da relação de preferência: \[U(A) > U(B) \;\Leftrightarrow\; A \text{ é preferido a } B\] \[U(A) = U(B) \;\Leftrightarrow\; A \text{ é indiferente a } B\]

Função de Utilidade — Natureza Ordinal

A função de utilidade é uma relação ordinal — ordena cabazes, mas o valor por si só não tem significado cardinal.

Consequência: muitas funções utilidade expressam as mesmas preferências — basta preservar a ordenação.

Exemplo: \(A(20,20) \succ B(10,10)\) — todas estas funções descrevem as mesmas preferências: \[U = x^{0.5}y^{0.5}, \quad U = 10x^{0.5}y^{0.5}, \quad U = 0.5(\ln x + \ln y)\]

Curvas de Indiferença e Função Utilidade

Uma curva de indiferença é o conjunto de todos os cabazes com a mesma utilidade \(\bar{U}\):

\[\forall(x,y)\colon U(x,y) = \bar{U} \quad\Leftrightarrow\quad \Delta U = 0\]

Utilidade Marginal e Leis de Gossen 📉

Utilidade Total e Utilidade Marginal

  • Utilidade total \(U(x)\): satisfação ao consumir uma quantidade de um bem.
  • Utilidade marginal: utilidade fornecida por uma unidade adicional: \[Umg_x = \frac{\Delta U}{\Delta X} = U'_x\]

Utilidade Total vs. Utilidade Marginal

Aproximamo-nos do ponto de saciedade → \(Umg \to 0\)

1.ª Lei de Gossen

1.ª Lei de Gossen — Utilidade Marginal Decrescente

Uma unidade adicional de um bem tem uma utilidade adicional cada vez menor à medida que o consumo aumenta — a utilidade marginal é decrescente.

Preço de reserva: máximo que o consumidor está disposto a pagar por mais uma unidade. À medida que consome mais, a disponibilidade a pagar diminui.

TMS e Utilidade Marginal

Ao longo da curva de indiferença, \(\Delta U = 0\):

\[\Delta U = Umg_x \cdot \Delta X + Umg_y \cdot \Delta Y = 0\]

Isolando:

\[\boxed{TMS = \frac{\Delta Y}{\Delta X} = -\frac{Umg_x}{Umg_y}}\]

Escolha Ótima e 2.ª Lei de Gossen ⭐

Escolha Ótima do Consumidor

Escolha Ótima

É o ponto de consumo que maximiza a utilidade sujeito ao orçamento disponível: \[\max_{x,y} U(x,y) \quad \text{s.a.} \quad Xp_x + Yp_y = W\]

Escolha Ótima — Gráfico

2.ª Lei de Gossen

No ponto ótimo, o declive da RO iguala o declive da curva de indiferença:

\[-\frac{p_x}{p_y} = TMS = -\frac{Umg_x}{Umg_y}\]

2.ª Lei de Gossen

No ótimo do consumidor: \[\left|TMS\right| = \frac{p_x}{p_y} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{Umg_x}{Umg_y} = \frac{p_x}{p_y}\]

2.ª Lei de Gossen — Interpretação

\[\frac{Umg_x}{Umg_y} = \frac{p_x}{p_y}\]

  • Benefício marginal de mais \(X\): \(\dfrac{Umg_x}{Umg_y}\) — quanto de \(Y\) “vale” uma unidade de \(X\)
  • Custo marginal de mais \(X\): \(\dfrac{p_x}{p_y}\) — quanto de \(Y\) “custa” uma unidade de \(X\)
  • No ótimo: benefício marginal = custo marginal

Exemplo Resolvido — Escolha Ótima

Um consumidor tem €160, \(p_x = 20\)€ (camisas), \(p_y = 30\)€ (calças), \(U(x,y) = xy^3\).

Passo 1 — Calcular \(|TMS|\): \[Umg_x = y^3,\quad Umg_y = 3xy^2 \quad\Rightarrow\quad |TMS| = \frac{y}{3x}\]

Passo 2 — 2.ª Lei de Gossen: \[\frac{y}{3x} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad y^* = 2x^*\]

Passo 3 — Substituir na RO: \[20x + 30(2x) = 160 \;\Rightarrow\; 80x = 160 \;\Rightarrow\; x^* = 2,\quad y^* = 4\]

Procura Individual 📉

Dedução da Procura Individual

Ao variar \(p_x\) com \(p_y\) e \(W\) constantes, cada preço dá um ótimo diferente.

O lugar geométrico dos ótimos é a Via Preço-Consumo.

Via Preço-Consumo e Curva de Procura

Exercícios ✏️ · Utilidade e Gossen

Exercício 1 (Escolha Múltipla) · Utilidade e Gossen

Um consumidor tem \(U(x,y) = x \cdot y\), \(W = 100\)€, \(p_x = 5\)€, \(p_y = 4\)€. Qual a quantidade ótima de \(x\)?

(A) \(x^* = 5\) \(\quad\) (B) \(x^* = 10\) \(\quad\) (C) \(x^* = 20\) \(\quad\) (D) \(x^* = 8\)

Resposta: (B)

\(Umg_x = y\), \(Umg_y = x\). 2.ª Lei: \(\dfrac{y}{x} = \dfrac{5}{4} \Rightarrow y = \dfrac{5x}{4}\).

RO: \(5x + 4 \cdot \dfrac{5x}{4} = 10x = 100 \Rightarrow x^* = 10\).

Exercício 2 (Escolha Múltipla) · Utilidade e Gossen

Qual das afirmações sobre a 1.ª Lei de Gossen é correta?

(A) A utilidade total diminui à medida que se consome mais.

(B) A utilidade marginal é crescente com o consumo.

(C) A utilidade marginal é decrescente com o consumo.

(D) A utilidade marginal é constante.

Resposta: (C)

A 1.ª Lei de Gossen estabelece que cada unidade adicional acrescenta menos satisfação do que a anterior.

Exercício 3 (Desenvolvimento) · Utilidade e Gossen

Um consumidor tem \(U(x,y) = x^2 y\), \(W = 90\)€, \(p_x = 3\)€, \(p_y = 2\)€.

a) Calcule \(Umg_x\) e \(Umg_y\).

b) Determine o cabaz ótimo \((x^*, y^*)\) pela 2.ª Lei de Gossen.

c) Calcule o nível de utilidade no ótimo.

Solução

a) \(Umg_x = 2xy\); \(\quad Umg_y = x^2\).

b) 2.ª Lei: \(\dfrac{2xy}{x^2} = \dfrac{2y}{x} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow y = \dfrac{3x}{4}\).

RO: \(3x + 2 \cdot \dfrac{3x}{4} = 3x + \dfrac{3x}{2} = \dfrac{9x}{2} = 90 \Rightarrow x^* = 20,\quad y^* = 15\).

c) \(U(20,15) = 400 \times 15 = 6000\).

Procura Individual e Excedente do Consumidor

Recapitulação 🔄 · Procura e Excedente

Nas secções anteriores:

  • Restrição Orçamental e Preferências
  • Função de Utilidade — natureza ordinal
  • 1.ª Lei de Gossen: utilidade marginal decrescente
  • 2.ª Lei de Gossen: \(|TMS| = p_x/p_y\) no ótimo
  • Procura Individual: via preço-consumo

Nesta secção: procura de mercado, modelos lineares e excedente do consumidor

Procura de Mercado (Agregada) 📊

Da Individual à de Mercado

  • Da determinação do ótimo deduz-se a procura individual
  • Por adição horizontal das procuras individuais, obtém-se a procura de mercado:

\[Q^D(P) = \sum_{i=1}^{n} Q^D_i(P)\]

  • A procura de mercado herda todas as propriedades das procuras individuais.

Agregação Horizontal

  • Para \(P > 3\): só \(D_1\) ativa — \(Q = 4 - P\)
  • Para \(P \leq 3\): ambas ativas — \(Q = 10 - 3P\) (cotovelo em \(P = 3\))

Propriedades da Procura de Mercado

A procura de mercado herda as propriedades individuais:

  • Inclinação negativa: ao subir o preço, diminui a quantidade — Lei da Procura
  • Desloca para fora se: rendimento aumenta (bem normal), preço de substituto sobe, preço de complemento desce
  • Desloca para dentro se: rendimento diminui (bem normal), preço de substituto desce, preço de complemento sobe

Bens Normais e Bens Inferiores

O efeito do rendimento sobre a procura depende do tipo de bem:

  • Bem normal: o rendimento aumenta e a procura expande-se — é o caso mais comum.
  • Bem inferior: o rendimento aumenta e a procura contrai-se. O consumidor substitui o bem por alternativas que passa a poder pagar.

Nota

O mesmo bem pode ser normal para uns consumidores e inferior para outros, e pode mudar de categoria ao longo da escala de rendimentos. A classificação não é uma propriedade do bem em si, mas da relação entre o bem e o rendimento de quem o compra.

Modelos Lineares para a Procura 📐

Porquê Modelos Lineares?

Para simplificação de cálculo, usa-se frequentemente a procura linear:

  • Forma direta (quantidade em função do preço): \[Q = a - b \cdot P\]
  • Forma inversa (preço em função da quantidade): \[P = \frac{a}{b} - \frac{1}{b} Q\]

Aviso

Qualquer que seja a forma, representa-se sempre no espaço \((Q, P)\), com \(P\) no eixo vertical — convenção de Marshall (1895).

Interpretação do Modelo Linear

  • \(\frac{a}{b}\): preço máximo (choke price) — acima disto \(Q^D = 0\)
  • \(a\): quantidade máxima — ao preço zero
  • Ao preço \(p_1\), a quantidade ótima procurada é \(q_1\)

Deslocações da Procura Linear

Excedente do Consumidor 💰

Preço de Reserva

Preço de Reserva

O preço de reserva é o máximo que o consumidor está disposto a pagar por uma unidade adicional do bem. É dado pela curva de procura inversa avaliada na quantidade em causa.

Da 1.ª Lei de Gossen: à medida que se consome mais, a \(Umg\) decresce → o preço de reserva também decresce.

A curva de procura é a curva dos preços de reserva marginais.

Excedente do Consumidor

Excedente do Consumidor

Por unidade transacionada, é a diferença entre o preço de reserva e o preço de mercado efetivamente pago.

O excedente total é a área abaixo da curva de procura e acima do preço de mercado.

Excedente do Consumidor — Gráfico

Cálculo do Excedente do Consumidor

Para procura inversa \(P = \dfrac{a}{b} - \dfrac{1}{b} Q\), ao preço \(p_1\):

\[EC = \frac{1}{2} \times q_1 \times \left(\frac{a}{b} - p_1\right)\]

Exemplo: \(P = 10 - 2Q\), preço de mercado \(p = 4\).

  • Quantidade: \(Q = \dfrac{10-4}{2} = 3\)
  • \(EC = \dfrac{1}{2} \times 3 \times (10-4) = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9\)

Variação do Excedente com o Preço

Quando o preço desce de \(p_0\) para \(p_1\), o excedente do consumidor aumenta.

Exercícios ✏️ · Procura e Excedente

Exercício 1 (Escolha Múltipla) · Procura e Excedente

A procura de mercado é \(Q^D = 120 - 4P\). Se o preço de mercado é \(P = 10\), qual é o excedente do consumidor?

(A) \(EC = 200\) \(\quad\) (B) \(EC = 800\) \(\quad\) (C) \(EC = 400\) \(\quad\) (D) \(EC = 1600\)

Resposta: (B)

Procura inversa: \(P = 30 - \tfrac{1}{4}Q\).

\(Q = 120 - 40 = 80\). Preço máximo: \(30\).

\(EC = \tfrac{1}{2} \times 80 \times (30-10) = \tfrac{1}{2} \times 80 \times 20 = 800\).

Exercício 2 (Escolha Múltipla) · Procura e Excedente

Dois consumidores: \(Q_1^D = 8 - 2P\) e \(Q_2^D = 6 - P\). Qual é a procura de mercado para \(P \leq 4\)?

(A) \(Q^D = 14 - 3P\) \(\quad\) (B) \(Q^D = 14 - 2P\)

(C) \(Q^D = 6 - 3P\) \(\quad\) (D) \(Q^D = 8 - 3P\)

Resposta: (A)

Para \(P \leq 4\) (ambos ativos): \(Q^D = (8-2P) + (6-P) = 14 - 3P\).

Para \(P \in (4, 6]\): só \(Q_2^D = 6-P\) ativo. Para \(P > 6\): \(Q^D = 0\).

Exercício 3 (Desenvolvimento) · Procura e Excedente

A procura de mercado de um bem é \(Q^D = 200 - 5P\).

a) Escreva a equação da procura inversa.

b) Se \(P = 20\), calcule a quantidade transacionada e o excedente do consumidor.

c) O preço desce para \(P = 10\). Qual o novo excedente? Qual o ganho para os consumidores?

Solução

a) \(P = 40 - \tfrac{Q}{5}\). Preço máximo: €40.

b) \(Q = 200 - 100 = 100\). \(EC = \tfrac{1}{2} \times 100 \times (40-20) = 1000\).

c) \(Q = 200 - 50 = 150\). \(EC = \tfrac{1}{2} \times 150 \times (40-10) = 2250\).

Ganho: \(2250 - 1000 = \mathbf{1250}\).